胡若溪：世上的事情，絕大多數並不是非此即彼
文/胡若溪圖/INS
壹
《傳習錄-陸澄錄》王陽明：「精神、道德、言動，大率收斂為主，發散是不得已，天地人物皆然。」本是江海人，此篇贈君子。讀而有因，來而有禮。
轉眼又一年過去了。我不由得問自己：可曾忘卻初衷。
貳
千頭萬緒縈繞心頭，久久不能釋懷......。
太多的思緒卻不知從何整理。（好吧，本日誌亂七八糟的不要在意，「若溪堂主」和以前一樣。本就是來問自己問題，然後讓時間給我答案。）
曾經我以為：A數學語言能表達世上的一切事情並解決一切問題。
這曾是我不顧一切努力的原因，於是我帶著無數問題想來到大學——一個我曾以為的「天堂」解決。
叄
而事實上，我的問題一個沒解決卻更多了起來。
其實我這種想法早落後了一百多年，下引入度娘一段台詞：
「在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未得到解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以得到解決的信念，對數學工作者是一種巨大的鼓舞。
他說：「在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這裡有一個數學問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因為在數學中沒有不可知。」三十年後，1930年，在接受哥尼斯堡榮譽市民稱號的講演中，針對一些人信奉的不可知論觀點，他再次滿懷信心地宣稱：「我們必須知道，我們必將知道。」希爾伯特去世後，這句話就刻在了他的墓碑上 。」
希爾伯特信奉即為數學可知論（等價於我上面的想法A）
肆
其中有個最值得關注的問題2，就是數學系統的完備性問題。
這裡很隨意就可用最淺白的例子說明：
(1)
是自然數集；
是自然數平方的數集。
這幾個數集能夠很容易構成一一對應，那麼，在每個集合中有一樣多的元素嗎？ （本人的2011-2-5的問題）
這是個悖論，針對的是完備性問題。此悖論引起的第三次數學危機。
伍
對此，以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數學哲學學派應運而生。
測度理論差強人意，此問題至今其實並沒有根本解決。
(2)
判斷某無理數（如π，√2）m的小數存在任意多9相連的正誤。
這是個關於一致性的問題，可知論怎麼去承受這種難辨真假的命題。
這裡介紹希爾伯特為代表的形式主義：
說白了，就是將所有的悖論讓另一個系統去承擔，這個系統被稱之為元數學，強行將數學與悖論分開。
此時數學只是來寫公理化系統，而元數學來判斷正誤。例：
在形式主義中這屬於數學，沒有判斷，命題，真假的概念，只是用來建設公理化系統。
陸
形式系統L：非常非常簡單，只有三個重言（永真）式。這意味著數學家們只需要建立公理化系統，然後在元數學邏輯系統中將它們作為永真式像圖靈機一樣去計算，然後一個個定理，推論就可以被推導出來。（如果真的如此，意味著圖靈機可以代替數學家工作，數學家全部失業，可是數學家卻樂此不疲）
哥德爾不完備性定理：
第一不完備性定理
任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明也不能被否定。
在執行過程中我們會發現這樣一個命題，它是理性之外的，無法證明亦無法證偽。通常我們的解決方法是：將其補充進入整個邏輯系統的公理之中——即簡單地認為這個命題是對的，或者是錯的。然後再在其基礎上進行推論。但是現在發現這種做法也是徒勞，因為你即使補充了新的公理，根據哥德爾定理，仍然會有新的這樣超出理性能力範圍的命題出現。
第二不完備性定理
如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
第二，它證明了：不存在一個通用的方法能夠判定一個命題究竟是不是無法證明且無法證偽的。
柒
這幾乎成了必殺一擊。
因為假使我們知道有這樣的命題，並且無法通過將其加入公理系統來彌補，但假使我們知道一個方法，來判斷一個命題是否是這樣的命題。我們至少可以節省很多的時間和精力，不會把它浪費在理性能力之外的這些命題上。
但是哥德爾定理告訴我們：這樣的方法是不存在的。
舉個例子：歐幾里得幾何有五條公設，建立起了平面幾何，可它卻不能論證自己的完備（正確）性。
若改變第五條公設，就會變成羅氏幾何，黎曼幾何等......
數學作為最理智的學科，都難逃不完備的厄運，可知論被完殺。（不得不承認數學家又有事情幹了）
https://www.byvoid.com/zhs/blog/godel-incompleteness-theorems-agnosticism（一個清華學子寫的不完備定理對他的觸動，比我深刻多了）
捌
送給自己的問題：
其他的自然，社會科學的真假又有什麼判斷依據與意義呢？
既然一切公理化系統脫離不了實際，不能解釋一切問題，自己的努力又有什麼意義？（為萬鍾？呵呵，萬鍾於我何加焉？）
L系統是完備的，而PM系統又那麼無懈可擊，那麼為什麼會不完備？
（暫時給自己的答案：也許世上的事情，絕大多數並不是非此即彼，非黑即白的。需謹記長守中道，毋因極端而自尋煩惱。——對此下棋的人深有體會，現在的象棋早就變成非正即誤，棋手已經越來越接近電腦，卻早已遺失了象棋本來的樂趣，違背了象棋存在為了娛樂的初心。）
寄語：福兮禍所依，希望日後找到更深刻的答案。
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END
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※胡若溪：凡古今之成大事業、大學問者，無不經過三種境界
※胡若溪：心為本，物為用
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