感嘆！八卦圖智慧！八卦圖以及小波變換與高維空間的最佳坐標系

學習功課和做科技研發，多了解相應的思想史，是有益的。很多學術論文，開篇就回顧歷史或評述相關研究。讀外國科學家或名人的作品，不時會遇見類似「西方思想」的說辭，其自豪溢於言表。近現代科技改變了世界，有目共睹，也足以證明其自豪是合理的，那也是全人類的驕傲和智慧結晶。國人切合自己經驗，談談科技背後的「中國思想」或「中國智慧」（西方人似乎常籠統稱之為「東方哲學」），並以之為深入動力而不是自我封閉，就是好事。不無知自大而鄙視「夷技」，也不虛無悲觀而認定「他鄉月更圓」。電視劇中的八卦符很顯眼，那是三位二進位數。通信與計算機或電子工程領域的人們，應該非常熟悉。即使不知道太極八卦圖的傳統用途，不讀《易經》，甚至認為其舊理論或應用是偽科學或迷信，也不得不面對其二進位思想在現代科技活動中的偉大意義。其久遠歷史，著實讓人不得不感嘆聖圖先師的智慧。

我們生活在數字世界，接觸到的東西在百姓看來很多屬於高新科技成果。純粹鑽研技術，不提八卦圖是可以的。居士曾經教學微機課程，調試模擬量的數字轉換電路以採集生理信號如腦電波，也涉及通訊信息的糾錯編碼，常接觸二進位和十六進位數，那時都沒有顧及太極八卦圖或《易經》。後來買過兩本《易經》，特別想琢磨琢磨其背後可能的嚴格物理學基礎或本質以及卦與卦關係的信息編碼學問題。沒有時間很好地讀，斷斷續續地看。困難不小。它用的術語，卦辭或解釋，所謂的象數理等，在現在的日常和科技生活中，一般都難以見到。最近查了「百度百科」關於太極八卦圖與《易經》的條目，發現其提到了物理學中的粒子，弦和幾種力等「科學內涵」，缺少嚴肅細節，很多似乎也超出居士的知識背景。也許還僅是聯想，有待嚴格論證的某種可能性。不排除西方科學家受到過中國古代哲學思想的影響，所以在前沿探討中無意識地給人留下了某種相似性。不能說舊國學早已達到了那樣的科學水平。欽佩尊重西方科學家的可能繼承和發展，同時也反思國人長期守著「寶」，「大師」輩出，卻沒有首先發展出近現代科學技術以創造豐富的社會物質基礎。或被吸入「仁義道德」和「忠孝奸逆」的仕途漩渦，或陶醉於高妙而超然於世俗之外。舊國學中到底有多少寶藏或謬誤，居士不敢妄斷。但居士在技術層面上做分析類比，是愉快的和嚴肅的。把「一生二，二生三」及「兩儀，四象，八卦」強調為逐級二進切分，可以說明卦符的順序和生成方法，揭示把一個量（包括負數）表達為二進位數時，各個數位的獲取方法即模數轉換思想。思想突破「三維八卦」的空間桎梏，通向了更廣闊天地。前面已貼過兩篇博文涉及八卦圖的思想意義，這裡再給些影響廣泛的科技例子。

上面左圖是「太極圖——百度百科」中講郭彧太極圖構成使用的示意圖，解釋用圓的扇區描繪出陰陽魚。不管歷史如何，實際上會畫圓的話，直接在大圓中再畫兩個半徑減半的小圓，然後在這兩個圓中分別畫上更小的同心圓表示眼睛，也就分得了漂亮太極圖的陰陽魚區域。可以填黑為順時針的，也可是反時針的。下文中的太極圖，都是居士用這種方法做的，看上去不錯。這裡要反過來，強調最左上角的圖。圖中，黑色部分表示「陰」（即0），白色部分表示陽（即1）。最大圓環的黑白兩片對應第一次切分和二進位數的「最高位」，或符號位；次大圓環表示第二次切分和二進位數的「次高位」；最小圓對應第三次切分和二進數的「最低位」。「紫悠藍」在短文《八卦與二進位的關係》（http://blog.sina.com.cn/s/blog_4d350fcc010009a4.html;2007-05-24）中簡短地指明八卦的生成表達了二進位原理，上面右圖是其使用的八卦符生成圖，包含有二進位數，強調了數據結構中二叉樹與八卦生成一致。計算機科技中的人們一定深知其價值。如果某位象居士一樣缺少二叉樹的使用體驗，不妨用Wiki百科或百度或谷歌搜查，很快即可領略信服其重要性。八卦圖值得頌揚！

數軸是一維的，在它上面的點的位置用數x1 表示。平面是二維的，平面上的位置可表示為（x1,x2）。表達三維空間位置可用（x1,x2,x3）。對於更高維，N維（大於3）的空間,可以視為所有數組（x1,x2,…,xN）的全體，可以包括複數，N也可以是無窮大。如在直觀三維空間中一樣，可以定義向量運算，夾角和正交等。玩電腦，通過麥克風把歌聲錄到電腦時，電腦中存放的數據是在1,2,…,N各個時間點麥克風上的電壓值，也就是歌曲在N維空間中的坐標係數（x1,x2,…,xN）。在信號與信息理論中，其坐標軸是頂點在相應時間點的Sinc函數。如果對這些數據做傅里葉變換，其結果是以三角函數（sin和cos）為坐標軸系統時的係數，也稱為歌曲的頻譜。不同的三角函數有不同的頻率，不同歌曲的頻譜也不同。女聲比男聲音高，也就是說女聲的頻譜在高頻率上的係數值更大。環境和電路中有各種雜訊和干擾。如果知道雜訊和干擾的頻譜特點，修改頻譜值就可以降低雜訊和干擾，改善重新播放時的音響質量，這種處理稱為濾波。保留低頻成分而抑制高頻成分，叫低通濾波，反之叫高通濾波。

把N維空間C視為太極圓，根據八卦生成的二進位原理，用高通（「陽」）濾波器和低通（「陰」）濾波器對，可以把空間逐級一分為二，得到兩個N÷2維的子空間，四個N÷2÷2維的子空間，八個N÷2÷2÷2維的子空間，以此類推，直到子空間的維數是奇數而不能再分為止。這一過程如上圖所示。大的長方塊相當於太極圓。圖中Ci，j表示的是各個空間,也可表示相應的坐標係數序列，第一個下標i對應所分的級次，第二個下標j是分得的子空間的序號，也就是八卦生成中各扇區的二進位數的十進值。Hm0 和Hm1 是分割所用的濾波器，包括數據長度減半的下抽樣過程，也表達了相應子空間的新坐標系，上標m指示濾波作用的空間層次，下標0指示濾波器是低通，下標1指示濾波器是高通。各級濾波器的下標0或1，從上到下，級聯排列，正好是八卦生成中的二進位碼。濾波器對的選取以及相應的坐標系函數的性質，依賴於研究對象和興趣或目的。這正是從上世紀八十年代以來，在數學，信號分析和圖像處理等領域，都十分熱門的研究內容，包括子帶分解，小波分析和小波包分析。

描述一個信號如歌曲，上面這些空間中的係數，不是都需要的。如用四個或五個數描述三維空間的點是冗餘的。把太極圓可以分為若干塊，如「兩儀，四象，八卦」，16塊，32塊或《易經》的64塊。有很多這樣不同大小的塊，像積木遊戲那樣，從中挑選出一些塊，能剛好拼接出完整的太極陰陽魚圖就可以了。可選大塊或小塊，所以有很多種拼法。換句話說，在切分時，研究情況不同，不一定每個層次都要繼續分割上一層的全部塊或子空間。如上面左圖的陰影區域一起，可以完整地表達了N維空間。相當於上面右圖，假設易學分析中每級（共六級）只對太極圓「陰」性區域再細分為二，而「陽」區不再區分陰陽。這種情形，叫小波分解或小波變換。而下面左圖陰影區和右邊太極圓的八卦切分，則是深度為3的子帶分解。

切分和拼接覆蓋有很多種，濾波器的選取也可以多種多樣，所以可以根據研究的需要，按照某種準則，找到一個最佳方案，使代價最小或收益最大。每一種選擇，都得到一組係數完全表達原信號，其相應的坐標系稱為一組小波包基。子帶基和小波基是兩種特殊的小波包基。使代價最小的一組稱為最佳小波包基，是在N維空間中描述感興趣對象的最佳坐標系。例如在三維空間中有很多感興趣點，它們正好分布在一條直線上，那麼選用這條直線為一軸建立的坐標系可視為最佳的，因為每個點只需一個數即可表示其位置，來自於其餘方向的讀數記錄誤差也可以被抑制。下面的圖片顯示了在256維情形的一個應用例子，其中分散的黑點表示被雜訊污染的正弦信號。用熵準則選出使能量分布最集中的坐標系。實線是捨棄絕對值較小的若干係數後的最佳基表達的信號，可見更好地近似了沒有雜訊的正弦曲線。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！