42章經2-3，單調性，能一眼識別就不要算

高中數學42章經 第2章03

單調性

單調性就是增減性。

單調性與極值、最值、零點等高度相關，肯定是高考數學中的「超級重點」。

函數單調性的證明思路只有兩種

第一種是定義法：

1.設x1，x2∈定義域，且x1

2.列出f(x1)，f(x2)解析式，並計算f(x1)-f(x2)。

3.若f(x1)-f(x2)>0，f(x)為減函數；

若f(x1)-f(x2)

第二種是導數法：

f (x)>0，即增函數；f (x)

除了以上兩種方法，辨別一個函數的單調性，童鞋們要做好其他三手準備

首先，能夠一眼辨別初等函數的單調性。

其次，遇到經初等函數變形的複雜函數，也能不通過計算分析出函數的單調性。

這裡會用到一些常用結論

增函數-減函數是增函數

減函數-增函數是減函數

增函數+增函數是增函數

減函數+減函數是減函數

此外，如果f(x)、g(x)為增(減)，則有

-f(x)為減(增)

f(x)g(x)為增(減)

1/f(x)為減(增)

根號下f(x)為增(減)

最後，童鞋們要留意反函數、奇偶性對函數單調性的影響

一個函數如果有反函數，原函數與反函數的單調性是一致的。

也就是說，只有單調函數才有反函數；奇函數有反函數，偶函數沒有反函數。

奇函數在對稱區間[-a,-b]與[a,b]上的單調性是一致的；

偶函數在對稱區間[-a,-b]與[a,b]上的單調性是相反的。

這裡有一個常用結論，請大家通過畫圖進行理解記憶

一般情況下，使用定義法或導數法都很難分析出單調性的題目（即計算很複雜的題目），都可以通過觀察，識別出單調性來，即上述三種一眼辨別。

我們舉一個栗子

需要注意的是，上題所畫示意圖不是真正的f(x)圖像，只是為了表達f(x)在x>0上為增函數，在x

此外，本題中最後的解不等式|x|>|2x-1|，解題心法參見42章經1-4，大家可以再次複習鞏固

|x|-|2x-1|>0

第一步，計算出所有零點，即0和1/2

第二步，分情況討論，按數軸從左到右劃分區間，打開絕對值。

當x0，得到空集

當0

當x>=1/2時，x-2x+1>0，得到1/2

綜上，即1/3

高中數學42章經全部內容均為原創，請各位童鞋老師自取自用，但謝絕一切轉載，謝謝配合。

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