42章經2-5，周期與對稱，一大波結論來襲

高中數學42章經 第2章05

函數周期性&對稱性

滿足f(x)=f(x+T)的函數f(x)就是周期函數，周期為|T|。

周期函數的圖像是沿x軸反覆重複的，比如正弦函數y=sinx就是周期函數，周期為2π。

在高考中，命題人可以很壞的，不會直接給出f(x)=f(x+T)的題設條件告訴大家是周期函數，而是有其他變形。

一般情況下有六種變形。請各位童鞋熟記

第一種，f(x+a)=-f(x)

說明f(x)為周期2|a|的周期函數。

證明過程

令b=x+a，則x=b-a，代入f(x+a)=-f(x)，得到：

f(b)=-f(b-a)，即f(x)=-f(x-a)

於是有f(x+a)=f(x-a)

令c=x-a，則x=c+a，代入f(x+a)=f(x-a)

得到：f(c+2a)=f(c)

即f(x)=f(x+2a)

f(x)為周期為2a的周期函數

第二種，f(x+a)=f(x-a)

f(x)是周期為2|a|的周期函數

證明過程在第一種已經涉及。

下面幾種情況證明過程類似，理科童鞋可以自己證明一下，文科童鞋記住樣子即可

以上結論都可以通過換元法得到證明。對童鞋們來說，這六種最好記下以備後用。

關於函數的對稱性，除奇函數（關於原點對稱），偶函數（關於y軸對稱），童鞋們還要記住以下結論

軸對稱：f(a+x)=f(a-x)，說明函數f(x)是關於軸x=a對稱的函數。

點對稱：f(a+x)=-f(a-x)，說明函數f(x)是關於點(a,0)對稱的函數。

f(x)+f(-x)=2a，說明函數f(x)是關於點(0,a)對稱的函數。

此外需要注意

如果函數f(x)關於直線x=a和x=b對稱，則函數f(x)為周期函數，周期為2|a-b|。

如果函數f(x)關於點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數f(x)為周期函數，周期為2|a-b|

如果函數f(x)關於點(a,0)與直線x=b對稱，則函數f(x)為周期函數，周期為4|a-b|。

童鞋們可以這樣記憶

關於兩個點或兩個直線對稱的，周期就是2|a-b|

關於一點和一條直線對稱的，周期就是4|a-b|

由以上對稱性基本結論，我們可以推導出一些計算方法，經常運用於函數與解析幾何的題目中

高中數學42章經全部內容均為原創，請各位童鞋老師自取自用，但謝絕一切轉載，謝謝配合。

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