影響人類文明的11個數學方程式

數學方程式數學方程式不僅能夠幫助人們解決知識上的問題，同時，從某種角度來看，它們本身也是非常美麗的。許多科學家都曾坦承，自己非常喜歡某些方程式，並不僅僅因其功能，更在於它們所表現出的那種簡約而不簡單、形式如詩句般優雅的美感。

這些方程式中，有一些聲名顯赫並為公眾所熟識，比如愛因斯坦的質能方程：E = mc^2，但是在科學領域還有很多其它的美妙方程。

廣義相對論

General Relativity

圖片來源：Shutterstock/R.T. Wohlstadter

該方程式由20世紀最偉大的物理學家愛因斯坦於1915年提出，是開創性理論——廣義相對論的組成部分。它顛覆了科學家們此前對於引力的定義，將其描述為時空扭曲的結果。

「直到現在，我依然為單獨一個數字方程就可以完整覆蓋時空的定義而感到震驚。」美國空間望遠鏡研究所天體物理學家馬里奧?利維奧表達了自己對該方程的推崇，「這個方程式堪為愛因斯坦天才智慧的結晶。」

利維奧解釋道：「該方程式的右邊部分，代表著我們所在宇宙，包括推動宇宙膨脹的暗物質在內的總能量。左邊則表述了時空的幾何形式。左右兩邊合起來描述了愛因斯坦廣義相對論的實質，即質量和能量決定了時空的幾何形式以及曲率，表現為我們俗稱的引力。」

「這是個優雅的方程。」紐約大學的物理學者凱爾?克蘭默爾對利維奧的意見表示贊同。同時，他還指出該方程式展示了時空、質量與能量之間的關係。「這 個方程式告訴人們三者之間的相互關聯，比如太陽的存在是如何扭曲了時空，導致地球圍繞它進行軌道運動。它還解釋了宇宙自大爆炸之後的情況，以及預言了黑洞的存在。」

標準模型

Standard Model

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這是另外一條被物理學界奉為經典條文的方程式。標準方程描述了那些被認為組成了當前宇宙的基本粒子。它還能夠被壓縮為以18世紀法國著名數學和天文學家約瑟夫?路易斯?拉格朗日命名的簡化形式。

美國加州斯坦福直線加速器中心理論物理學家蘭斯?迪克森推薦了該方程式。在他看來，它成功地描述了除重力之外，人們迄今為止在試驗室中所發現的基本粒子與力，其中就包括新近被發現的被稱為「上帝粒子」的希格斯玻色子，即該方程式中的希臘字母「φ」。

不過，儘管標準方程與量子力學、狹義相對論可以彼此兼容，但是卻難與廣義相對論建立統一關係，因此它在描述重力上無能為力。

微積分

Caculus

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如果說，廣義相對論與標準方程描述的是宇宙的某些特殊方面，那麼其他一些方式則適用於所有情況，比如微積分基本定理方程。

該方程式堪為微積分學的肱骨理論，並且把積分與導數這兩個微積分學中最為重要的概念聯繫在一起。「簡單地說，它表述了某平滑連續變數的凈變值，比如 其在特定時間內走過的距離，等於這個量變化率的積分，即速度的積分。」美國福特漢姆大學數學系主任馬爾卡納?布拉卡洛娃-特里維西克說。「微積分基本定理 讓我們能夠在整個間隔變化率的基礎上，測算某一間隔的凈變值。」

說到微積分，實際上早在古代該學科的萌芽就已經開始萌發，直到17世紀時最終由伊克薩?牛頓整理成科，並開始將其應用於描述行星圍繞太陽的運動規律。

勾股定理

Pythagorean theorem

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該定理可謂老而彌香的骨灰級理論，幾乎是每個學生開始學習生涯後，學到的第一批幾何知識之一。

這條定理的具體內容是：任何直角三角形的兩個直角邊長度的平方相加，其和等於剩下那條斜邊長度的平方。

「畢達哥拉斯定理，是第一個讓我感到震驚的數學定理。」推薦這條方程式的美國康奈爾大學數學家黛安娜?塔米娜說。而她給出的理由是：「這條幾何學中的定理，也同樣能夠用數字進行表達。這對於當時還是個孩子的我來說，是多麼的奇妙有趣。」

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從形式上看，這是一個很簡單的等式。1等於0.99999……這個無窮數。之所以推薦這個等式，美國康奈爾大學數學家斯蒂文?斯特羅蓋茨的理由是 「每個人都能理解它，但同時人們又會覺得有些不甘心，不太願意相信這種「簡單」意味著「正確」。在他看來，這個等式展現了一種優雅的平衡感——1代表著數學的起始點，而右邊的無窮數則寓意無限的神秘。

狹義相對論

Special Relativity

圖片來源：Shutterstock/optimarc

愛因斯坦再次因為自己的相對論入選，只不過這次是狹義而不是廣義相對論。

狹義相對論並沒有把時間和空間看做絕對、靜止的概念，它們呈現的狀態與觀察者的速度有關。這個方程式描述了隨著觀察者向某一方向移動的速度加快，時間是如何膨脹，或者說開始變慢。

「該方程式最偉大的一點，恰恰在於它是那麼的平易近人。」歐核中心粒子物理學家比爾?莫瑞說。「整個方程中並沒有代數等複雜的運算，一個普通中學生 都能夠完成計算。當然，它不可能僅僅只是這麼簡單。實際上，這個方程式提供了一種全新的看待宇宙的角度和方式，一種看待人們與現實世界之間關係的態度。而 最精妙的是，要反映這麼深厚的內涵，該方程式卻只藉助了最為簡單的數學方式，任何想要解讀它的人都可以得償所願。」莫瑞表示。

在莫瑞看來，與愛因斯坦的廣義相對論相比，這位大科學家的狹義相對論更令自己鍾愛。因為理解前者所需要的那些深奧數學知識，連他這樣的專業學者都會感到一頭霧水。

歐拉方程

Euler s equation

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這個看起來非常簡單的方程式，實質上描述了球體的本質。用馬薩諸塞州威廉姆斯學院的數學家科林?亞當斯的話說：「如果你能夠將一個球體分割成為面(F)、邊(F)和點(V)，那麼這些面，邊和頂點之間的關係，必定符合V-E+F=2。」

在亞當斯看來，該方程式最大的魅力在於，它以一個包含面、棱和頂點數目的方程，體現了不同形狀物體的本質屬性。不管代入的是什麼樣的物體，該程式的 結論都是成立的。比如，除了球體，如果人們考察5面金字塔形，即4個三角形與1個正方形的組合，就會發現等號的右邊，一樣會是數字2。

歐拉-拉格朗日方程和諾特定理

Euler-Lagrange equations and Noether s theorem

圖片來源：Shutterstock/Marc Pinter

美國紐約大學的克萊默表示：「這個方程看起來有些抽象，但卻擁有驚人的力量。它最酷的一點在於，這條定理經受了物理學領域的歷次重大變革而延續下來，如量子力學的出現以及相對論的引進。」克萊默表示：「這個方程所告訴你的便是這一物理系統是如何隨著時間而演化的。」

拉格朗日方程的一個衍生品便是諾特定理，它是以20世紀的德國傑出數學家艾米·諾特(Emmy Noether)的名字命名的。克萊默說：「這個定理在物理學中佔據著重要地位，對於對稱性則至關重要。簡單的說就是：假如你的系統擁有對稱性，那麼必定存在一個相應的守恆律。舉例來說，物理學定律具有對稱性，比如物理學的基本定律在今天和明天都是一樣的(時間對稱)，這就意味著其能量應當守恆。另外，這裡和那裡的物理學定理是一致的，這就意味著動量應當是守恆的。因此對稱性應當可以說是基本物理背後的基礎，這是諾特所做出的貢獻。」

卡倫?西曼吉克方程

Callan-Symanzik equation

圖片來源：Shutterstock/R.T. Wohlstadter

美國羅格斯大學理論物理學家馬特·斯特拉斯(Matt Strassler)指出：「Callan-Symanzik方程自從1970年以來便一直是最重要的方程式之一。」這個方程有著很多應用領域，比如它允許物理學家估算質子和中子的質量和大小，這兩者是構成原子核的組成部分。

基礎物理學告訴我們，兩個物體之間的引力和電磁力是和它們兩者之間的距離的平方成反比的。從簡單角度來說，將原子核聚合在一起的強核力同樣擁有相似的性質，這種力同樣是將夸克聚合在一起形成質子和中子本身的基本力。然而，微小的量子震蕩會輕微地改變這種力隨距離發生變化的性質，這一點具有重要意義。

斯特拉斯表示：「這一機制防止了這種力在長距離上的衰減，並使其得以捕獲夸克並將它們聚合形成質子和中子並最終構成我們所處的世界。Callan-Symanzik方程的意義就在於它將這種在距離較遠時(如一個質子直徑)重要但難以計算的效應，與在更小距離上，相對比較容易計算的效應聯繫了起來。」

極小曲面方程

The minimal surface equation

圖片來源：Shutterstock/MarcelClemens

威廉姆斯學院數學家弗蘭克·摩根(Frank Morgan)表示：「美麗的肥皂泡背後隱藏著秘密。這個方程是非線性的，其中包含有指數和微積分成分，描述了肥皂泡行為背後的數學。這個我們相對熟悉的線性偏微分方程不同，如熱方程、波動方程以及量子力學中的薛定諤方程等等。」

歐拉線

The Euler line

圖片來源：Patrick Ion/Mathematical Reviews/AMS

格林·惠特尼(Glen Whitney)是紐約數學博物館的創辦人，他推薦的是以18世紀瑞士大數學家歐拉命名的「歐拉線」。惠特尼解釋道：「從一個任意三角形開始，畫出包含這個三角形的最小的圓，找到這個圓的中心；然後找出這個三角形的重心，過三角形的三條邊分別作垂線，找出三條線的相交點，這樣我們便得到三個點，而這一定理就是說，以上找出的三個點都位於一條直線上(即三角形的外心、重心和垂心共線)，這條直線就被稱作這個三角形的歐拉線。」

惠特尼表示，這條定理展現了數學的美妙與力量，一些看似簡單而熟悉的圖形背後往往隱藏著令人驚奇的模式。

文：Livescience/Clara Moskowitz

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