時間譜方法中的高效GMRES演算法研究

時間譜方法中的高效GMRES演算法研究

貢伊明，劉戰合，劉溢浪，張偉偉*

非定常流動問題在航空航天領域普遍存在，比如直升機旋翼、葉輪機、氣動彈性問題等。隨著計算機性能的提高，計算流體力學（CFD）數值模擬非定常流動已經逐漸成為非定常流動研究的主要手段。但目前非定常數值模擬存在計算量大和存儲量大的問題，以往多數計算流體力學研究者將關注點放在了空間離散與迭代方法的改進上，忽略了時間離散方法。很多問題涉及到的非定常流動均具有周期性特徵，2005年Gopinath提出了針對非定常周期性流動數值求解的時間譜方法（TSM），使得CFD計算精度和效率都有非常明顯的提高。

時間譜方法利用流動的周期性特徵，通過傅里葉變換與逆變換將時間導數項通過其他所有時刻點的插值進行離散，從而將非定常問題中各時刻的順序排列求解轉化為多個時刻耦合的定常求解問題。對於小減縮頻率或採樣點數少的周期性流動問題，時間譜方法甚至可以將效率提高一個量級。TSM在工程中得到廣泛應用，並取得了很好的實際效果，如直升機旋翼問題、渦輪機葉片繞流以及渦脫落問題。

然而近期研究表明，對於撲翼這類減縮頻率較大的非定常問題TSM會出現不收斂的情況，計算效率不如傳統時域推進法。對於非線性強或非簡諧的周期非定常流動問題TSM則需要大量的採樣點才能擬合，同時收斂性也大幅下降。上述兩種情況出現是因為隨著減縮頻率增大或採樣點數增加，雅克比矩陣對角佔優性質惡化，使得計算效率下降甚至數值發散。

引用格式：貢伊明，劉戰合，劉溢浪，等．時間譜方法中的高效GMRES演算法研究[J]．航空學報, 2017, 38(8): 120894. GONG Y M, LIU Z H, LIU Y L,et al. Research on Efficient GMRES Algorithm in Time Spectral Method[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(8): 120894.

圖 1 不同減縮頻率下SGS迭代收斂歷史

圖 2 不同採樣點數下SGS迭代收斂歷史

圖3 跨聲速算例TSM收斂歷史

圖4 亞聲速總計算時間對比

圖5 跨聲速算例力矩係數計算值與實驗值對比

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