皮爾士對康托連續統的哲學批判

相關知識

連續統

連續統是一個數學概念。當人們籠統地說：「在實數集里實數可以連續變動」，也就可以說實數集是個連續統；更嚴格的描述需要使用序理論、拓撲學等數學工具。這裡的連續是相對於離散的概念而言的。在不討論精確的定義前，有時人們也會談到一個量可以在某範圍內連續取值，或者說該量的變化範圍是一個連續統。在數學上，連續統這一術語至少有兩種精確定義，但並不等價。另外，連續統一詞有時即指實數線或者實數集，這是較舊的叫法；見連續統假設。

目錄

1有序集

1.1連續統的基數

2拓撲學

有序集

在集合論中，連續統是一個擁有多於一個元素的線性序集，而且其序滿足如下性質（具此性質的序稱為「稠密無洞」的）：

稠密：在任意兩個元素之間存在第三個元素

無洞：有上界的非空子集一定有上確界

實數集即為連續統的例子；實際上它是連續統的原型。以下是連續統的幾個例子：

序結構與實數集同構（序同構）的集合，例如實數集里的任何開區間

擴展的實數軸，以及序同構於它的，比如單位區間。

實的半開半閉區間如 (0,1] 等，以及其序同構。

拓撲學中有一種比實數線還要長的「長線」（en:long_line）

非標準分析中的超實數集

連續統的基數

主條目：連續統的勢

康托的連續統假設有時會被敘述成「在連續統的基數和自然數的基數之間不存在任何基數」，這裡的「連續統」指的是實數集；連續統的基數即特指實數集的基數。

拓撲學

在點集拓撲學中，一個連續統是指任何非空的緊緻連通度量空間（或者非空的緊緻連通豪斯多夫空間，但較少用）。

按照以上定義，一個單點集也是連續統。擁有多於一個點的連續統稱為非退化的連續統；由連通性和豪斯多夫性質，可知它一定含有無窮個點。連續統理論即是拓撲學中研究拓撲連續統的分支。其中一個有趣的問題是不可分解連續統的存在性：

是否存在這樣的連續統 C ，它可以寫成兩個連續統的並集，且這兩個都是 C 的真子集？

答案是肯定的，第一個例子由魯伊茲·布勞威爾給出[1]。

連續統假設

在數學中，連續統假設（德語：Kontinuumshypothese；英語：Continuum hypothesis，簡稱CH）是一個猜想，也是希爾伯特的23個問題的第一題，由康托爾提出，關於無窮集的可能大小。其為：

不存在一個基數絕對大於可列集而絕對小於實數集的集合。

康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給出了連續統假設，就是說，在無限集中，比自然數集基數大的集合中，基數最小的集合是實數集。而連續統就是實數集的一個舊稱。

更加形式地說，自然數集的基數為（讀作「阿列夫零」）。而連續統假設的觀點認為實數集的基數為（讀作「阿列夫壹」）。於是，康托爾定義了絕對無限。

等價地，整數集的基數是而實數的基數是，連續統假設指出不存在一個集合 S使得

，假設選擇公理是對的，那就會有一個最小的基數

大於，而連續統假設也就等價於以下的等式：

連續統假設有個更廣義的形式，叫作廣義連續統假設（GCH），其命題為：

對於所有的序數

庫爾特·哥德爾在1940年用內模型法證明了連續統假設與ZFC的相對協調性（無法以ZFC證明為誤），保羅·柯恩在1963年用力迫法證明了連續統假設不能由ZFC推導。也就是說連續統假設獨立於ZFC。

目錄

1作為希爾伯特第一問題

2集合的大小

3證明或證否的不可能性（在ZFC系統下）

4支持和反對連續統假設的辯論

5廣義連續統假設

6參考條目

7參考資料

8外部鏈接

作為希爾伯特第一問題

主條目：希爾伯特的23個問題

1900年，大衛·希爾伯特以「連續統假設是否成立」作為「希爾伯特第一問題」。Kurt Godel和Paul Cohen確定了連續統假設在ZFC系統下，加上了選擇公理，也不能證明或證否。 連續統假設簡記CH。選擇公理簡記AC。

集合的大小

主條目：基數

要正式地列出這個猜想，我們需要一些定義：假如兩個集合S與T之間存在著一個雙射，我們會說這兩個集合擁有相同的基數。直觀的意思是在「T的每個元素只能配上僅僅一個S的元素，反之亦然」這個前提下，把S與T的元素拿出來配對是可能的。因此，集合與集合擁有相同基數。

當情況去到如整數集或有理數集等無窮集的情況時，事件就變得複雜得多。當考慮所有有理數的集合時，有些初學者可能會直覺地認為有理數理所當然地多於整數，而有理數又顯然少於實數，因此把連續統假設證否。但透過簡單集合論的方法，我們能證明有理數集能與整數集形成一雙射，因此有理集跟整數集有著一樣的大小，而它們都被稱為可列集。對角論證法則證明了整數集跟連續統（實數集）的基數並不一樣。

連續統假設亦指出，實數集中每一個子集，要麼和整數集有相同的基數，要麼和實數集有相同的基數。

如果一一映射的兩個集合的基數不一定相等，那麼怎麼辦？ 這時，ZF需要增加FAC（AC的升級版本）。FAC主要用於解釋AC。定義 若一一映射的若干集合的基數一定相等，則這些集合叫做標集；否則，這些集合叫做泛集。標集有基數，泛集無基數。定義 對於若干泛集，若強制按其中一個，來解釋這些泛集的基數，則這些泛集叫做標泛集。標泛集有基數。定義 標集之間的一一映射叫做標射。泛集之間的一一映射叫做泛射。標泛集之間的一一映射叫做標泛射。性質 標射假設等價於有限元AC，標泛射假設等價於AC，泛射假設等價於FAC。[來源請求]

證明或證否的不可能性（在ZFC系統下）

康托爾相信連續統假設是對的，花了很多年嘗試證明它，結果徒勞無功。它成為了希爾伯特那重要難題名單中的第一條，並在1900年巴黎的國際數學家大會上宣布此事。在那個時候，還沒有公理化集合論的概念。

庫爾特·哥德爾在1940年指出連續統假設不能在ZFC系統下證否，即使接受了選擇公理為前提。保羅·寇恩在1963年證明了連續統假設同樣不能在ZFC下被證明。因此，連續統假設「邏輯地獨立於」ZFC。這些結果都是以ZFC的公設系統本身並不存在自相矛盾（相容性）為假設大前提，而這個大前提是被廣泛接受為對的。

連續統假設並非被證明跟ZFC互相獨立的第一個命題。哥德爾不完備定理一個立即的結論在1931年被發表，那是「『存在著一個正式命題表達ZFC的相容性』乃獨立於ZFC」。有別於純粹數學的，這個一致的命題乃是有著在數學之上的特性。連續統假設和選擇公理乃是最先被證明跟ZF集合論獨立的命題。在Paul Cohen在1960年代發展出力迫法以前，這些獨立性的證明並沒有完成。

連續統假設與數學分析、點集拓撲學和測度論中很多的命題有緊密關係。由於其獨立性，很多這些範疇中的猜想也就被證明了其獨立性。

支持和反對連續統假設的辯論

哥德爾相信連續統假設是錯的，而他對於連續統假設相容性的證明，只表示了ZF系統的公理有缺陷。哥德爾是一個柏拉圖主義者，因此獨立於一個命題的可證性而宣稱其正確或錯誤，對他來說並無問題。寇恩也傾向於反對連續統假設。

歷史上，喜歡一個「豐富」而且「大」的全集的數學家傾向反對連續統假設；而喜歡一個「整齊」而且「可控制」的全集的數學家則傾向支持連續統假設。對於能推導出連續統假設的可建造公理，一直以來也有一些支持與反對的爭論。最近，Matthew Foreman更指出本體論的多元主義對支持連續統假設有利（Maddy 1988, p. 500）。這是因為在各種模型裡面，支持連續統假設的模型往往會存在更多集合。

另一個觀點是對於集合的幼稚概念並不足夠明確地使我們能分辨究竟連續統假設是對是錯。這個觀點被「連續統假設對於ZFC系統的獨立性」所支持，由於這些公理足夠建立集合與基數的基本特性。要反對這一觀點，要是能展示一條既能被直觀所支持、又能從證明或證否面解決連續統假設的新公理，那就很足夠了。儘管可建造公理能解決連續統假設，但它比較起連續統假設的反題並不顯得更直觀地正確。

至少有另外兩個可推導出連續統假設的公理被提出，即使它們目前還沒有被數學社群所廣泛接受。在1986年，Chris Freiling展示了一個反連續統假設的論點，透過顯示連續統的反題跟Freiling對稱公理──一個跟概率有關的命題──等價。Freiling相信這條公理「直觀正確」，但其它人反對。一個由W. Hugh Woodin發展的困難論點同樣反連續統假設，並自2000年開始獲得了值得考慮的注意。Foreman (2003)並沒有完全反對Woodin的論點但敦促小心謹慎。[來源請求]

可以證明，直觀正確的Freiling對稱公理是個假命題。[來源請求]也可證明，貌似正確的AC也是一個假命題。[來源請求]AC的創立者策梅羅，用一雙鞋與一雙襪，比喻選擇公理。然而，他憑什麼讓選擇公理是一雙鞋呢？只為確定與方便。[原創研究？]類似，康托爾他憑什麼讓「一一映射的兩個集合的基數相等」？只為確定與方便。[原創研究？]確定性固不可少，方便性未必就好。[原創研究？]

廣義連續統假設

GCH意味著這個嚴格的不等式對無限序數和有限序數都成立。

最新的FAC表明，GCH擁有多個實例。不妨GCH的兩個實例是GCH1與GCH2。GCH1的第n個基數可不等於GCH2的第n個基數。GCH有一個特殊的實例，這個實例是唯一的，叫做終極連續統假設（Final continuum hypothesis，簡記FCH）。

參考條目

阿列夫數

希爾伯特的23個問題

Beth數

序數

ZFC系統無法確定的命題列表

首個不可數序數

參考資料

Arens, Tilo; Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kochelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel. Mathematik, Aufl. 3. Springer Spektrum. 2015. ISBN 978-3-6424-4918-5.

Cohen, P. J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. W. A. Benjamin. 1966.

Cohen, Paul J. The Independence of the Continuum Hypothesis. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Dec 15, 1963, 50 (6): 1143–1148.

Cohen, Paul J. The Independence of the Continuum Hypothesis, II. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Jan 15, 1964, 51 (1): 105–110.

Dales, H. G.; W. H. Woodin. An Introduction to Independence for Analysts. Cambridge. 1987.

Foreman, Matt. Has the Continuum Hypothesis been Settled? (PDF). 2003 [February 25, 2006].

Freiling, Chris. Axioms of Symmetry: Throwing Darts at the Real Number Line. Journal of Symbolic Logic. 1986, 51 (1): 190–200.

G?del, K. The Consistency of the Continuum-Hypothesis. Princeton University Press. 1940.

G?del, K.: What is Cantor s Continuum Problem?, reprinted in Benacerraf and Putnam s collection Philosophy of Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of G?del s arguments against CH.

Kemmerling, Andreas. Informationsimmune Unbestimmtheit. Bemerkungen und Abschweifungen zu einer klaffenden Wunde der theoretischen Philosophie. Forum Marsilius Kolleg. 2012, 01: 1–43. doi:10.11588/fmk.2012.0.9407.

Maddy, Penelope. Believing the Axioms, I. Journal of Symbolic Logic. June 1988, 53 (2): 481–511.

Martin, D. (1976). "Hilbert s first problem: the continuum hypothesis," in Mathematical Developments Arising from Hilbert s Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp. 81–92. ISBN 978-0-8218-1428-4

McGough, Nancy. The Continuum Hypothesis.

Woodin, W. Hugh. The Continuum Hypothesis, Part I (PDF). Notices of the AMS. 2001a, 48 (6): 567–576.

Woodin, W. Hugh. The Continuum Hypothesis, Part II (PDF). Notices of the AMS. 2001b, 48 (7): 681–690.

左孝凌, 李為鑒, 劉永才. 離散數學. 上海科學技術文獻出版社. 1982. ISBN 978-7-8051-3069-9.

點擊展開全文

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！