如何排列國旗上的小星星

作者：蔣迅 王淑紅

節選自《數學都知道》叢書第2冊，有刪改。

自古以來，人們對於星星都抱有敬畏和嚮往。人們甚至認為每一顆星星都是一個神靈。這種崇拜的心靈必然反映在人們日常的圖案中。五角星就是星星的抽象表示。作為一個國家的象徵，很多國家都把五角星鑲嵌在國旗上。據徐傳勝教授的統計，一共有至少55個國家的國旗上鑲有少到一個多到五十個五角星。隨著五角星的增多，五角星的排列就是一個需要考慮的問題了。這不僅是一個藝術的問題，而且是一個理念的反映；而其排列表達又可以引出一些數學問題。在這裡我們就以五角星最多的美國國旗來說說這裡面的數學問題。

1、美國國旗上的星星排列問題

美國，全稱為美利堅合眾國，是聯邦共和立憲制國家，有50個州，它的國旗上目前有50顆小星星，就分別代表這50個州。如果這是一成不變的事實倒也不必太費心思，問題是歷史上，美國的國旗上的五角星的數目一直是和美國的州的數目相對等的。由於美國成立聯邦的時候一開始就有13個州，所以現在這50顆小星星是從13顆開始一點點增加起來的。

當聯邦政府正式成立的前後兩年，美國國旗還不是星條旗。從1777年開始才有了五角星。而且一開始有幾種不同的設計。曾有人設計了一個把一顆星星放在中間的圖案，但沒有被採納。後來這個提案被修改成13顆星星形成的一個圓圈的圖案。傳說是一個叫羅斯的女子在獲得了總統喬治·華盛頓的親自授權後縫製的。這個故事無法證實，但如果讀者到費城的話可以看到羅斯的房子。

圖1. 四種未被選中的13星旗

以後每當有新的州加入時，國旗上就增加一顆星（如圖2）。而且每次有新的州加入，都要考慮如何排列國旗上的星星。迄今為止，最後一個加入進來的是夏威夷。世事難料，有誰知道以後會不會還有哪個地方突然會加入進來呢？這並不是杞人憂天，第二次世界大戰結束後，有些菲律賓人就曾提出加入美國聯邦。2012年11月有報導稱，波多黎各公投，逾6成民眾選擇成為美國第51個州（他們甚至設計好了有51顆星星的國旗）。2014年1月，矽谷投資人德雷珀推出一項計劃，將加州分為6個獨立的州。所有這些信息，似乎都在預示，在未知的將來，美國真的會有不止50個州呢。

圖2. 13州時圖樣之一：六角星旗、15個州時的國旗和加州入聯邦時的國旗

最後使用的48星、49星和50星的國旗圖案分別如下圖所示（如圖3）：

圖3. 48星旗、49星旗和50星旗

於是出現了一個問題，如果美國確實有了大於50的N個州，那麼國旗上的星星該怎麼排列呢？按照美國的憲法，一旦有新的州加入聯邦，聯邦政府必須在美國獨立日（即7月4日）之前將國旗更新。如果提前有一個大家都能接受的排列這些星星的方案豈不更為省事。

2.、數學家利用程序為美國國旗排列星星

美國人威爾遜想到了未來國旗上的星星該如何排列的問題，他自己沒有解決，把問題拋給了數學家加里波第。加里波第不負所望，設計出一個程序，只要人們選擇N為100以內的任何數字，這個程序就可以給出國旗上N顆星的分布圖。他的做法是這樣的：首先對歷史上曾經在國旗上正式使用過的星星數目和進行研究，找出它們的一般格式，然後將這些格式按星星數目進行分類。他得到下面6個格式：

（1）長格式：每行星星數目長短交錯，長的一行星星數比短行的多一個。第一行和最後一行都是長的。（例：50星）

（2）短格式：這個格式與長格式相同，只是第一行和最後一行都是短行。

（3）交錯式：這個格式與上兩個格式相同，但第一行是長行，最後一行是短行。

（4）等長式：每行的星星數目都相同。（例：48星和49星，49星有些變異）

（5）懷俄明式：第一行和最後一行都是長行，其他的行都是短行。這個名字是因為這個格式是由於懷俄明州的加入而第一次引入的。

（6）俄勒岡式：這個格式與等長格式相同，除了中間一行的星星數目少兩個。這個名字是因為這個格式是由於俄勒岡州的加入而第一次引入的。

還有一個沒有明示但似乎顯然的假定：星星的布局應該是一個長和寬相差不大的矩形。顯然把所有的星星都擺在一行里不太美觀。於是，假定a是行數，b是長的一行中星星的個數，我們可以合理地讓a和b滿足：a≤b≤ 2a。

歷史上，美國國旗的星星排列並不完全是按這6個格式設計的。比如加州加入聯邦時的31星旗就很特殊，而按這個分類，它應該是一個短格式。還有一個特殊情況就是當愛荷華州加入聯邦時的29顆星，它不能被歸到上面任何一種格式中。

給定1 ≤N≤ 100，只要N≠ 29，69和87，我們就可以至少給出一個格式來。讀者可以試著證明，當N= 29時，上面的6個格式都不能符合要求。不知道為什麼美國人沒有定義出一個愛荷華式來。

假如我們好奇，用這個程序，當我們考慮像中國的國旗一樣有5顆星時它會是怎樣分布的呢？下面就是用這個程序選擇5顆星所產生的星條旗（如圖4）。

圖4. 一組不同布局的五星旗

可以看到，威爾遜在程序里設計了好幾個方案，唯獨沒有讓一堆小星星圍繞一顆大星星。我們前面提到過，最初也確實有過近似這樣的設計方案，但堅持平等理念的美國人沒有採納。美國憲法對這些星星的尺寸有嚴格的規定：如果國旗的高度是1的話，那麼每個星星的外切圓的直徑是0.0616，即每個紅白條的4/5，而每個紅白條的寬度是1/13，近似為0.0769。因為美國人認為，每個州都是平等的，每個政黨也是平等的，每個人更是平等的，所以小星星不應該有大小不同、顏色區別和位置的特殊性。這些都是威爾遜的程序必須遵守的條件。

3、問題的數學推廣

這個問題到這裡還沒有結束。我們看到，在100以內已經有3個數目是不能由這個程序自動產生星星分布的。那麼200以內呢？1千以內，1萬以內呢？一般地，當上限充分大的時候會是什麼結果呢？伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校的兩個研究生考慮了這個問題，並得到了一個有些不可思議的結果：當數目充分大時，能排列好的數目越來越少。具體地說，若S(N)= #，則S(50)= 49，S(100)= 97。他們證明了

直覺上，我們當然可以想像，當N越來越大時，會出現越來越多的n使得現有的6個格式不能滿足需要。上面的懷俄明格式和俄勒岡格式就是因為這個原因加進來的。比較令人意外的是，當N越來越大時，我們要增加的格式會迅速增加。

更令人意想不到的是，這個問題與我們熟知的乘法表有關。數學上的這種關聯正是數學的美妙之處。數學家們常常用他山之石來攻破難題。費馬大定理的證明就是一個漂亮的例子。鑒於這種思維方法的重要性，我們再稍微說一說上面這個星條旗問題是如何解決的。先來看一看下面的表，這是一個10×10的乘法表（如表1）。

表1

在這個表中有很多重複的數字。我們從上到下一行行看下來，把已經出現過的乘積都刪除掉，就得到下面的表（如表2）。（注意這個思想有點像經典的尋找素數的「埃拉托塞尼篩法」。）

表2

1955年，數學家埃爾特希提出了一個問題：當乘法表充分大時，即當N趨於無窮時，A(N)= #{n≤ N：n=m1m2，m1≤，m2≤}的變化趨勢是什麼？埃爾特希證明了左上方×的非空白格越來越少：

伊利諾伊大學的兩位學生就是利用這個結果，經過細緻的分析發現S(N)≤ 6?A(N)，從而結論正確。

最後讓我們再回到美國國旗來，看看當N> 50 時他們都準備了什麼安排。

圖5. 51-55個州時的幾個國旗設計

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