呂布、劉備、曹操同時愛上了貂蟬，誰的勝算最大？

今天上午，在我們的「終身學習者」群里，有朋友發了一道題，題目如下：

呂布、劉備、曹操同時愛上了貂蟬，為了決定誰娶貂蟬，他們決定用弓箭決鬥。劉備的命中率是30%，曹操的命中率是50%，呂布的命中率是100%。為公平起見，他們決定按這樣的順序循環：劉備先射，曹操第二，呂布最後。這三個人中誰活下來的機會最大？

明眼人一看，就知道，這是一道博弈論經典題目，答案一定是劉備，而他要想贏得更大的生存機會，必須動點腦子，那就是，在第一輪決鬥的時候，故意射偏。

一、我們先定性分析

1、如果劉備不夠聰明，會怎樣？

如果劉備非要硬著頭皮上，他會先射誰？一定是呂布，因為，射死曹操，呂布百發百中，他死定了。而如果先射呂布，接下來和曹操對決，還有一絲希望。

但是，這裡面的問題是：接下來，是曹操先射。兩人對決，誰先射，誰佔便宜，這是不言自明的。

2、如果劉備足夠聰明，又會怎樣？

聰明的劉備，會選擇在第一輪故意射偏。射偏之後，難題就留給了曹操和呂布兩個人，他們倆無論有多聰明，都只能選擇全力以赴。

曹操若不殺死呂布，呂布下一輪一定會將其殺死，因為，曹操的箭術比劉備高，呂布當然要除掉威脅更大的那個。那麼，曹操只能瞄準呂布，但是，他畢竟水平有限，所以，再努力，也只有50%的可能幹掉呂布。

而如果曹操不幸失手，輪到呂布出手，那麼，呂布必射死曹操。

於是，我們發現，只要劉備故意放水，那麼，第一輪結束後，一半的可能是，曹操死了，另一半的可能是，呂布死了。接下來，進入第二輪，就變成了兩人對決，劉備拿到了寶貴的先手機會，這是劉備最明智的選擇。

二、接下來，我們定量分析

劉備雖然利用自己的高智商，拿到了寶貴的先手機會，但是，畢竟水平太次，還是有可能輸掉。為了打消朋友們的疑慮，我們還可以嚴格計算一下。

1、在計算之前，我們還是要說：對於有經驗的朋友，這道題根本不用算

只要出題人，智商沒問題，那麼，算到最後，一定會讓劉備贏。如果劉備橫豎都是死，高智商幫不上任何忙，那麼，這道題，還有什麼教育意義呢？

這本來就是一道「菜鳥如何利用博弈論的知識，打贏兩大高手」的勵志故事啊，如果一點都不勵志，誰還學「博弈論」啊？甚至，我們努力學習認真思考，還有什麼意義呢？如果這些都沒意義，我們還做這道題幹嘛？

接下來，就是驗證我們判斷的時候了。

2、「兩人對決模型」的公式推導

考慮到，第二輪，就進入了兩人對決模式，所以，我們要就「兩人對決模型」進行公式推導。

推導公式的好處是：萬一下次，別人把概率數字改變了一下，比如，把呂布命中率改成了80%，而且，堅持要求你算出具體的結果，否則，不給分，你該怎麼辦呢？所以，學數學，一定要注重通用公式的推導，不要就題論題，否則，永遠困在題山題海里，而不能成為題目的主人。

我們假設甲乙二人對決，甲的命中率為a，乙的命中率為b。

（1）二人的戰鬥過程

假設第一輪決出勝負：

若甲勝，則其勝率為：a

若乙勝，則其勝率為：（1-a）b，這個式子的含義是：甲失敗的概率乘以乙成功的概率，後面依此類推。

假設第二輪決出勝負：

若甲勝，則其勝率為：（1-a）（1-b）a

若乙勝，則其勝率為：（1-a）（1-b）（1-a）b

假設第三輪決出勝負：

若甲勝，則其勝率為：（1-a）（1-b）（1-a）（1-b）a

若乙勝，則其勝率為：（1-a）（1-b）（1-a）（1-b）（1-a）b

理論上講，大家可以打到第n輪。

寫到這兒，已經很明顯了，他們倆每一輪勝出的概率，都是等比數列啊。那麼，最終的概率是什麼呢？就是所有輪的概率之和啊，這不就變成了「等比數列求和」嗎？

（2）等比數列求和公式

等比數列求和公式，大家都很熟悉，不明白的，我們也不講了，這種基礎知識，再講的話，就沒意義了。

公式描述：公式中a1為首項，an為數列第n項，q為等比數列公比，Sn為前n項和。

這裡需要注意的是：n趨向於無窮（這裡，n趨向於無窮的含義是，甲乙二人手氣極差，老是打不中對方，只好永遠耗下去），q的n次方，趨向於零，那麼，Sn=a1/（1-q）。

（3）我們把甲乙的實際情況帶入這個公式，看看會發生什麼

對於甲：a1=a，q=（1-a）（1-b）=1-a-b+ab，於是，1-q=a+b-ab

那麼，其生存的概率為：a/（a+b-ab）

對於乙：首項為（1-a）b，也就是（b-ab），至於q，與甲相同

那麼，其生存的概率為：（b-ab）/（a+b-ab）

以上是最保險的推導過程，事實上，我們根本不用推導乙，只要推導甲，就夠了，因為，乙的生存概率一定等於（1-甲的生存概率），事實也是如此：

a/（a+b-ab）+（b-ab）/（a+b-ab）=1，進一步證明，我們的公式推導是正確的。

既然公式推導完成，接下來，就是帶入計算了。

3、代入計算，三個人分別存活的概率

（1）呂布

呂布要想活，第一輪，沒被曹操射死，第二輪，又沒被劉備射死，才能利用他百發百中的能力，把對手全部殺死，確保勝利。

這個概率是多少，很簡單：（1-50%）（1-30%）=35%

（2）曹操

曹操要想活，第一輪，必須把呂布殺死，第二輪以後，還要在n輪對決中，把劉備殺死。

先算，曹操在後手的情況下，殺死劉備的概率，代入公式：

（b-ab）/（a+b-ab）=（0.5-0.3*0.5）/（0.3+0.5-0.3*0.5）=0.35/0.65≈0.54

那麼，曹操生存的概率就是：0.5*0.54=0.27=27%

（3）劉備

劉備第一輪是安全的，所以，他要分別計算殺死呂布和殺死曹操的概率：

殺死呂布的概率：0.5*0.3=0.15

殺死曹操的概率，需要帶入公式：0.5*a/（a+b-ab）=0.5*0.3/0.65≈0.23

所以，劉備生存的總概率為：0.15+0.23=0.38=38%

綜上所述，三人生存的概率：劉備>呂布>曹操

三、重申一次「兩人對決公式」

假設甲乙二人對決，甲的命中率為a，乙的命中率為b。

則甲生存的概率為：a/（a+b-ab）

乙生存的概率為：（b-ab）/（a+b-ab）

如果有朋友覺得，明明是三人，為什麼只推導兩人對決公式，原因很簡單，不管三個人命中率是多少，最厲害的兩個人，必須先對決，決出勝負之後，再和菜鳥對決，所以，無論怎樣，用的都是兩人對決公式，而只要高手不對決出結果，菜鳥就永遠只能放空。

四、我們為什麼要如此詳細地解釋這道題

這本為一道常識題，可網上仍有很多人做錯，特出此文，以正視聽。建議有責任心的朋友轉發出去，希望以後網路上的錯誤，更少一些。雖然我們力量有限，並不能完全凈化網上的環境，但是，能多做一點就多做一點吧。

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