即使我是光，也曾在黑暗裡踟躕過無限條路徑

最新 07-11

《你一生的故事》里的故事（四）

智識Erudite

關於奔向你的道路，我無時無刻不在選擇啊

終於我們走到了這一步。或者說，這一步，從一開始，早就在那裡了。

「不管相隔千里萬里，我總想以最快的時間，走近你的心裡。」是的，你總以為能秒懂這句話的那個人，卻常常用一輩子都沒聽得懂。然而，我並沒有在瞎JB抒情，因為人聽不懂，卻有一個「既沒有心也沒有肺」的傢伙聽懂了。它的名字叫光。

（你為什麼追不上光？）

知道你開始又聽不懂了，我也欣慰了，不然我怎麼往下講啊。

光的愛情故事是這樣的：當一束光從A點出發，奔向終點B點的時候，如果這兩點在同一介質里（比如真空中，比如空氣中），大家都知道，這束光走過的路徑就是A到B所在的直線。但是，當A和B分別位於不同的世界——比如A在空氣里而B在水裡——的時候，這條走過的路徑就不再是直線了。這束光會先循著一條直線前進，直到與水面發生接觸。接下來的部分，但凡學過小學自然課初中物理課都會知道：光將會在接觸點位置發生折射，穿透水面，然後前進的方向發生了改變。但最終還是到達了B點。

（光的折射實際路徑）

你當然知道「光會折射」這件事，但是當看到這幅圖的時候，你有沒有想過哪怕一次這個問題：為什麼要繞遠路呢，不是說好的真愛無敵嗎？不是說好的飛奔而來嗎？「兩點之間直線距離最短」，歐幾里得他老人家幾千年前就說過了啊。明明該走這條虛線路徑才對啊。

（那條本以為最短的路徑）

答案是：這條直線距離會耗費更長時間。「三角形任意兩邊長度之和大於第三邊」，這條幾何規律幾乎人盡皆知。我們承認，相比這條構思中的路線，這束光的實際路徑的確繞了遠路。但是，當我們祭出另一個入門級的科學常識——光在水裡的傳播速度比在空氣中慢——而回頭看這條虛線時，似乎又明白了點什麼。先來讓我們把這條「最短路線」分成兩段。你會清楚地發現這條構思中的路線在水中的那部分，要比實際走的那條路線在水中的部分更長。所以，如果光選擇了走這條理論上的虛線，反而會因為在水裡的部分更長，導致整個路程耗時更多。

當然我知道，這還不足以馬上說服你。因為聰明如你一定會指出：既然光在水裡走得更慢，那我們就該儘可能減少光的路徑在水中部分啊。比如下圖，第二條虛線代表的這條路徑在水中的部分，就比實際路徑水中的部分更短啊。甚至，已經掌握了基本幾何知識的你還可能會更進一步指出：如果光行進路線在水中的部分和水平面垂直，那就短到了極致了。

（減少在水中的部分：如果垂直水平面的話則達到最短）

這個回答也是我們人類普遍能想到的分析思路，但同時，它也是鴕鳥行事的方式：顧頭不顧尾。當你從水中伸出頭來45度仰望時，你也注意到了，路徑在空氣中的那部分又實在太長，從而讓這條路徑的總長度比實際路徑長得多。兩相一疊加，走這條路花的時間依然比那條實際路徑更長。

所以，再回頭看這句話：「不管相隔千里萬里，我總想以最快的時間，走近你的心裡。」時，你心裡會生出別樣的感觸嗎？無論你把A和B標到哪裡，無論你自以為是地勾畫過多少條「想像中的路線」，光，永遠選耗費時間最少的那條。只想以最快的速度來到你的身邊，一毫秒都不想耽誤。張韶涵說「愛是一道光，如此美妙」，Why？因為法海不懂愛，光才懂愛。

（愛是一道光）

巧合的是，我們人類發現的物理規律里恰好有這麼一條，描述了這個事情，它叫做「費爾馬定律（Fermat s principle）」，或者「費爾馬最少時間律（the principle of least time）」。它最早是由一位法國有緣人科學家皮埃爾·德·費爾馬（Pierre de Fermat）提出，他說的是這麼個事情：一束光實際選擇的路線永遠是最快的一條。（「Light travels between two points along the path that requires the least time, as compared to other nearby paths.」描述來源：http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph5B/fermat09.pdf）

（費爾馬大人）

插播一句，費爾馬定律更正確更現代（more modern）的版本應該叫做「平穩時間原理」。其準確的描述是：「光沿著所需時間為平穩的路徑傳播。」（「Rays of light traverse the path of stationary optical length with respect to variations of the path.」描述來源：維基百科（中文）：https://zh.wikipedia.org/wiki/費馬原理以及維基百科（英文）：https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_principle）

再插播一句，所謂「平穩」，是數學中微積分的概念，大致等同於一階導數為零。實際上，通過變微積分和變分原理，在費爾馬定律的基礎上，還能推導出了我們都耳熟能詳的「光學三大定律」：

光線在真空中沿著直線傳播。

光的反射定律：光線在界面上的反射，入射角必須等於出射角。

光的折射定律：斯涅爾定律（Snell s Law）。

你也許注意到了，那兩條故意的「插播」在挑戰你閱讀科普的極限。我也相信，絕大部分人看到這裡，更有可能的選擇是跳過，同時內心的OS是：這特么的講的什麼鬼啊？我為啥要來聽你講這個？不是在講愛嗎？

（寶寶聽不懂）

面對「一束光實際選擇的路線永遠是最快的一條」這種情況，或許我和你一樣，會因激動而驚訝，然後生出萬千感慨。然而我沒那麼多愁善感，我只有兩個感慨而已。

第一個感慨是：「為什麼這條定律用語言解釋起來如此容易，而要對它做出數學描述卻如此之難？」它甚至艱深困難到要用變微積分（注意不是普微積分喲）和變分原理才能實現，可表達出來不過是那麼簡單的一句話？

而第二個感慨是：

光到底是怎麼知道那條路最快的？

在出發之前，光從沒走過這條路，也不會預先知道目的地B在哪裡——不，它甚至連出發地A都不預先知道。可一旦出發，這神奇的光，懂愛的光，總是能選對耗費時間最短的那條路。就算A或B散落在天涯海角，就算越過的地方是沙漠海洋。絲毫不差，從不犯錯。

我真的不知道為什麼會這樣。

上帝創造整數是為了讓人類知道整潔

我們先來找尋關於第一個感慨的答案。

我們都記得那個人，亂蓬蓬的雞窩頭，吐著舌頭賣萌的老頑童，他的海報曾經、一直並且終將繼續掛在各大中小學的教學樓走廊。有人模仿他的臉，卻模仿不走他的成果。愛因斯坦是這個世界上最知名的科學家，質能方程E=mc2大概也是這個世界上最著名的公式，至少是之一。而這，大概是最讓人驚訝且著迷的地方：「知道（至少見過）這個公式的人並不比知道愛因斯坦的人少多少。」

（愛因斯坦：You know me.）

你並不一定真的能感受到這有多麼的不容易。你們的老公宋仲基要娶你們的老婆宋慧喬了，可同時能把這兩個人的作品都如數家珍脫口而出的粉絲寥寥無幾——不撕起來就已經謝天謝地了。其他例子我就不多舉了，免得引爆娛樂圈。而在這個世界上幾乎每個人都能既在眼裡仰望他，也在心裡給他的豐功偉績留一張截屏的空間。即使在娛樂圈都殊為不易的事情，愛大神做到了。

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（宋一宋哭暈在廁所的粉絲們吧。）

讓我們回到「第一個感慨」吧。我們學習掰手指而算數，我們學習搭積木而幾何，我們學習各種公理定理，觸摸各種方程定律。回頭望去，和我們一同學習的人越來越少。而在探尋科學——尤其是物理和數學——的道路上，我們越往上攀爬越發現那些探索到的事情「不可描述」。那些隱藏在大自然背後的、隱藏在黑暗宇宙中的秘密，太過於層巒疊嶂、紛繁蕪雜。我想讓你懂，卻不知道說什麼。我們求導求根求運算元，最後所求的不過是寧靜。

（我想和你不可描述。）

想要全世界最聰明的頭腦里的智慧讓更多的人弄明白，他們絞盡了腦汁，卻沒有耗盡全部力氣。因為他們又足夠幸運，被賦予了一件如神器一般的工具。

質能方程E=mc2之所以能被完全不懂物理的人認識和記住，只能有一個解釋，那就是它的簡潔。是的，這件工具就叫做簡潔，它的藝名叫優雅。一個重大的科學原理，闡述其核心精華的定理或公式，往往具有如書法般的簡樸美感。一點都不巧合的是，愛因斯坦大神就是站這一派的。他認為理論的最高原則，是以簡潔優雅與否為判別。愛大神說：「儘可能地簡單，但卻不能再行簡化。」

（質能方程：You really know me?）

如果說物理規律或物理公式來自於我們對我們所存在的空間的一種實際描述，轉譯為一種更熟悉的表達方式，還多多少少可以比喻為一種「外在的」（extrinsic）修飾——如同嘗試各種風格的穿衣打扮而最終選出最適合自己的那一身——的話，那數學公式所展示出來的簡潔優雅，則幾乎是一種「內在的」（intrinsic）氣質。與生俱來，清水芙蓉。

為什麼呢？因為事實上，相對於物理（以及其他自然科學），數學具有「雙重性」。首先，它是因其本身而存在的一個知識體系，它有不依賴於任何外在實體、純粹存在於意識中的邏輯自洽性。但另一方面，它也是一種為宇宙深處傳遞聲音的工具：它也是一種語言。如果你僅僅把數學方程視為傳遞某種科學信息的工具，那你就看不到數學在我們頭腦里撥冗去繁的運行方式；而如果你僅僅把方程（不僅僅是數學方程）視為人類成長的標誌，那你就看不到自然對我們求索智慧的微妙指引。

（那些給予我們的微妙指引）

在這裡我不得不搬出我最喜歡的（沒有之一）一個公式，一個數學公式，一個被稱為世界上最完美的公式：歐拉公式，也叫歐拉恆等式（Euler s Identity）。

（歐拉公式：我不是歐諾拉，照樣是一道光）

這個公式的簡潔優雅到了令人動容的程度，「增之一分則太長，減之一分則太短」。她包含了：

最重要的微積分常數——自然對數e

最重要的幾何常數——圓周率π

最重要的運算符號——加號＋

最重要的關係符號——等號=

最重要的無理數單位——虛數i

最重要的兩個數字——零元0，單位1

減無可減，美到不可方物，便是簡潔的美，是純理性的美。19世紀德國著名數學家利奧波德·克羅內克（Leopold Kronecker）曾說：「上帝創造了整數，其他的都是人類的貢獻。」我們不過是在化整為零，化繁為簡。或者，在這條路上無限往前奔去。

當我用這樣蘊含無限簡潔優雅的質能方程和歐拉公式告訴你隱藏在宇宙中和邏輯中的故事的時候，你永遠不曾想到的是，這個世界上有多少偉大的智慧終其一生，才心滿意足地寫下了最後那個等號。當我用最短的時間從遠方走到你跟前、只為給你講這個最短故事的時候，你永遠不曾想到的是，即使我是光，也曾在黑暗裡踟躕過無限條路徑。

（未完待續）