有限元與離散元、邊界元

源自：技術鄰

作者：阿鑒2516

目前世界上結構計算方法一般分為有限元（FEM finite element method）、離散元（DEM discrete element method）、還有邊界元(EEM)。

離散元方法是由分析離散單元的塊間接觸入手找出其接觸的本構關係建立接觸的物理力學模型並根據牛頓第二定律對非連續、離散的單元進行模擬模擬。而有限元方法是將介質複雜幾何區域離散為具有簡單幾何形狀的單元通過單元集成、外載和約束條件的處理得到方程組再求解該方程組就可以得到該介質行為的近似表達。

離散元方法的基本概念

離散元方法也被稱為散體單元法，最早是1971年由Cundall 提出的一種不連續數值方法模型離散元理論是由分析離散單元的塊間接觸入手找出其接觸的本構關係建立接觸的物理力學模型並根據牛頓第二定律建立力、加速度、速度 及其位移之間的關係對非連續、離散的單元進行模擬模擬。

離散元法是專門用來解決不連續介質問題的數值模擬方法。該方法把節理岩體視為由離散的岩塊和岩塊間的節理面所組成,允許岩塊平移、轉動和變形,而節理面可被壓縮、分離或滑動。因此,岩體被看作一種不連續的離散介質。其內部可存在大位移、旋轉和滑動乃至塊體的分離,從而可以較真實地模擬節理岩體中的非線性大變形特徵。離散元法的一般求解過程為:將求解空間離散為離散元單元陣,並根據實際問題用合理的連接元件將相鄰兩單元連接起來;單元間相對位移是基本變數,由力與相對位移的關係可得到兩單元間法向和切向的作用力;對單元在各個方向上與其它單元間的作用力以及其它物理場對單元作用所引起的外力求合力和合力矩,根據牛頓運動第二定律可以求得單元的加速度;對其進行時間積分,進而得到單元的速度和位移。從而得到所有單元在任意時刻的速度、加速度、角速度、線位移和轉角等物理量。

離散單元法的特點

岩體或顆粒組合體被模擬成通過角或邊的相互接觸而產生相互作用。 塊體之間邊界的相互作用可以體現其不連續性和節理的特性。 使用顯式積分迭代演算法允許有大的位移、轉動和使用。 在岩體計算力學方面，由於離散單元能更真實地表達節理岩體的幾何特點，便於處理所有非線性變形和破壞都集中在節理面上的岩體破壞問題，被廣泛應用於模擬邊坡、滑坡和節理岩體地下水滲流等力學過程

離散單元法的求解過程 離散元法具體的求解過程分為顯式解法和隱式解法下面分別介紹其適用範圍。

顯式解法

顯式解法用於動力問題的求解或動態鬆弛法的靜力求解顯式演算法無須建立像有限元法那樣的大型剛度矩陣只需將單元的運動分別求出計算比較簡單數據量較少並且允許單元發生很大的平移和轉動可以用來求解一些含有複雜物理力學模型的非線性問題時間積分採用中心差分法由於條件收斂的限制使得計算步長不能太大因而增加了計算時間。

隱式解法

隱式解法用於求解靜力問題的靜態鬆弛法隱式解法的動態鬆弛法式直接找導塊體失去平衡後達到再平衡的力位移關係建立隱式方法解聯立方程組並通過迭代求解以完全消除塊體的殘餘力和力矩。

有限元方法的基本概念

將介質複雜幾何區域離散為具有簡單幾何形狀的單元而單元內的材料性質和控制方程通過單元節點的未知量來進行表達再通 過單元集成、外載和約束條件的處理得到方程組求解該方程組就可以得到該介質行為的近似表達。

有限元法的優點

可以用有限的、相互關聯的單元模擬無限的複雜體，無論多麼複雜的幾何體都能用相應的單元簡化，從而建模分析計算出結果。使複雜的、感覺無處下手的工程問題簡單化，這是最大的優點。 有限元法採用矩陣形式表達，編程性高

對於線彈性問題當實際結構位移場函數連續光滑時能夠得到收斂解。

對於任意複雜結構理論上總是可以通過細分單元的方法獲得足夠近似的模擬。 長期大量工程應用積累了豐富的經驗。

有限元的插值是基於網格的，所以需要人為做好單元，這很耗時間，但是單元就好像人們修了路一樣，計算的時候可以節省很多時間，效率比較高。同時，這也是有限元法的一個缺點，大變形問題中的網格畸變問題，本質在於單元插值造成的

缺點：精確度浮動性比較大。基於建模的水平和邊界條件、載荷工況的模擬是否真實等等。

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