數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好是 e？

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2017.07.18

Thinking…

數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？

自然數

對數的底數

對數中最常用的底數是10、2和e

為什麼要以10為底數？

因為我們使用10進位，數量級和科學計數法也是10的倍數，例如阿伏伽德羅常數。

所以的逆運算，以10為底的對數 lg x最常用、最方便，所以又稱常用對數。

10進位是數字表示法中最容易普及的，根源是我們有10個手指，人們初學數字時都喜歡藉助10個手指學習1、2、3……10。到了學加減運算時，更是喜歡藉助手指計算。不僅老師認為這樣教學直觀，學生也認為這樣練習方便。通過教育，這個強大的習慣，被最廣泛的傳播和固化下來。但如果是8個腕足的章魚發展出了文明，可能更喜歡8進位。

為什麼要以2為底數？

因為2倍或成倍式的增長，即，是我們日常中最簡單的指數式增長。我們經常說數量成倍、翻倍、翻番、翻兩番，都是2倍率的增長。你可能也發現了，前面的存款例子實際上都是，因為這樣的例子最容易理解。所以的逆運算，底數為2的對數 lb x 也會比較常見。

雖然對數的底數2和10是人們使用體驗和認知體驗最好的對數，但是在數學中，這兩個數卻是不自然的，因為都是在方便人的需要。

數學

【為什麼e被稱為自然底數？】

用e做底數的對數表達方式是 ln x

按照古希臘哲學家的自然思想，自然是指萬物的內在規律，就像自然數一樣，是事物本身的屬性，不以人的喜好而變化。

前面在講「利息中的e」時，曾拿π和e做過對比。

邊數越多越接近圓，利滾利越多越接近最大收益

一個對角線為1的多邊形，其周長最大值是π

一個本金為1利率為1的存款，其存款餘額的最大值是e

而科學家們也發現，在做數學分析時，用e做底數的對數 ln x 做計算，其形式是最簡約的，用其他對數例如lg x 做計算，都會畫蛇添足的多一些麻煩。

ln x 就像美學上的「增之一分則太長，減之一分則太短」。

數學

對數學家來說，最簡就是最美。這是一種純理性的美，通過感官是無法欣賞的，只有熟悉數學的人才能深刻的感受到。這種美令無數數學家為之痴迷，雖然不會像畢達哥拉斯那樣狂熱，但也終其一生孜孜以求。

把e冠以自然底數、自然常數之名，把e為底數的對數稱為自然對數，是數學家們用自己的方式對e所進行的美學評價。

結論：

1，歷史上，"自然"是一種劃時代的思維方法，自然還有和諧、完美的內涵

2，隨著利息、對數、指數的發明，人們發現了e的存在

3，1元存1年，在年利率100%下，無窮次的利滾利就會達到e

4，e和π一樣都是內在規律，反映了指數增長的自然屬性

5，大自然中到處都有對數螺線的身影

6，其他底數都是發明出來方便人使用，只有e為底數是被發現的

7，數學家發現以e為底數的對數是計算中最簡、最美、最自然的形式

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