你相信這些數學事實么？

不管你信不信

反正我信了

###貝特朗箱子悖論

我有三個箱子，每個箱子都有兩個隔檔。

第一個箱子裡面是兩塊金條

第二個箱子裡面是兩塊銀條

第三個箱子裡面是一塊金條和一塊銀條

你隨機抽取一個箱子，然後隨機打開一個隔檔。

如果裡面是金條，那另外一個隔檔里是金條的概率是多少？

你的第一反應一定是：1/2

因為只有兩個箱子裡面有金條，你就想，我一定選中了其中一個。

又因為其中一個箱子裡面是一塊金條和一塊銀條，所以，另外一個隔檔裡面是金條的概率就是1/2.

對嗎？

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你錯了！

實際上比那要複雜得多。要推算出為什麼不是1/2，讓我們給金條和銀條貼上標籤：

然後，我們列舉了一下所有可能抽取到的情況：

接下來，讓我們只看一下第一次抽到金條的情況：

所以，如果你第一次抽到的箱子里有一個隔檔是金條的話，那麼另一個隔檔里是金條的概率是2/3.

3次中有兩次另一個隔檔是金條，是因為在你抽到的3次金條中，有兩次你分別抽到了G1和G2.

3次中有一次另一個隔檔是銀條，是因為在你抽到的3次金條中，有一次你抽到了G3.

這個問題和三門問題有非常緊密的聯繫。

###如何用一塊鏢板推算出圓周率π

你可以用有塊鏢板推算出圓周率π的值

有一種很有趣的方法，通過反覆隨機在正方形鏢板內選點，可以推算出圓周率π的值

首先，我們需要做一些運算：

正方形內切圓的半徑為1，正方形的邊長就是2.

那麼，圓的面積就是：

πr2=π（12）=π

正方形的面積就是：

22=4

接下來，我們在正方形內隨機選取幾千個點。

有一種很有趣的方法，通過反覆隨機在這個正方形內選點，可以推算出圓周率π的值。

選的點越多，得出來的結果就越接近。

選點結束後，將結果帶入下面的公式，就可以推算出π的值：

這是運用幾何學和概率推算圓周率π的方法。

###調和級數發散至無窮大

下面就是調和級數：

分母持續增長趨向無窮大。

許多其他的無窮級數都聚合至單個數字：

然而，調和級數卻不是這樣：

對於大多數人來說，這是非常非常難以理解的——

請看下面：

它看起來增長的越來越慢！看那分數的值多小啊！而且只會越來越小！

但實際上，調和級數不會聚合到單個數字。它在趨向無窮大，只是很慢很慢。

我們來證明一下。

證明調和級數是發散的——

讓我們把調和級數和另外一個小一些級數對比一下：

注意，從第二項開始，第二個無窮級數中的每一個數都比調和級數同一位置的數要小。所以：

但是我們看一下第二個無窮級數：

可以簡化為：

很明顯可以發散至無窮大：

所以，如果

並且

那麼

###你的朋友很可能比你人緣好

從數學上講，大多數人的朋友平均所擁有的朋友數量要比他們自己的朋友多。

這種很有應用題色彩的現象，很大程度上是由於社交網路的數學性質所決定的。

它基於這樣一種理念，那就是平均來講，大多數人的朋友都擁有比他們自己更多的朋友。

社會學家斯科特·L·費爾德在1991年的一遍論文中，發現71%的人平均所擁有的朋友都比

他們的朋友所擁有的朋友要少。

關鍵點在於人緣好的人。

我們來看一個例子。

我們再來回顧一下你的辦公室來證明這一點（現在經過裁員，只剩下20個人了）。下面是你辦公室的朋友關係圖。連接線表示他們之間為朋友關係：

在這個辦公室里，平均每個人擁有2.85個朋友。

但是，每個人的朋友卻平均擁有3.39個朋友。

圖中標註出了擁有朋友數量高出平均數的人。他們都是人緣極好的人。更重要的是，辦公室的20人中有17人至少跟她們中的一位是朋友：

這只是一個例子，但在現實世界中卻稀鬆平常。

在推特上，在微博上，臉譜、人人......你所關注的人很可能擁有比你更多的粉絲。

基本上講，相對於朋友較少的人，你更願意與朋友多的人成為朋友。

這條規則不僅僅適用於朋友關係。

###任意四邊形邊線中點連線構成平行四邊形

畫一個四邊形，可以是任意古怪的形狀，不規則四邊形、凹四邊形、凸四邊形......只需要四個點和四條直線。

標出每條邊線的中點

將邊線相連。你總是會得到一個完美的平行四邊形。

###三個犯人

三個犯人都住在隔離間，並且都被判處了死刑。獄官隨機赦免了其中一個犯人。看守知道誰會被赦免，但不會說。

犯人A臉皮厚，讓看守告訴他，B和C誰會被執行死刑。

如果赦免的是B，那就說C；如果赦免的是C，那就說B；如果B和C都沒被赦免，那就投硬幣決定說誰。

看守告訴A，犯人B將會被執行死刑。

犯人A興奮不已，覺得自己生存的機率從1/3提升到了1/2，因為原來是A、B、C三個人有一人被赦免，現在是A、C兩個人有一個被赦免。

A將此告訴了C，C同樣興奮不已。他的理由是：A生存的機率仍然是1/3，而C卻有了2/3的機率被赦免。

誰錯了呢？

答案是：犯人C是對的。

最初，三人都有1/3的機率被赦免。看守說B會被處決，這意味著一下兩者可能：

--C會被赦免（1/3的機率）

--A會被赦免，投硬幣投到B（1/6的機率）

這就意味著A被赦免的機率是C被赦免的一半，二B已不可能被赦免。

所以，A被赦免的機率沒有變化，仍然是1/3.而C被赦免的機率已翻倍至2/3.

如果你仍然懷疑，那我們就對這其中的機率進行一下盤點：

接下來，我們只看B被處決的情況。我們看到，C被赦免的機率是A的兩倍。

既然我們知道，現在B被赦免的機會為0%，並且，C被赦免的機率是A的兩倍：

可見，犯人A問了多麼愚蠢的一個問題。

主編圈點：這些問題是不是和我們平時所理解相悖呢，事實就是如此，你明白了么。

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