張恭慶院士談數學職業

科技 08-12

前言

上個世紀50年代，數學通報[1]刊登了蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫的「論數學職業」的譯文。我上大學時，這是我們「專業教育」的材料。對於我們這代學數學的人產生了很大的影響。然而半個多世紀過去了，數學的面貌發生了很大的變化，數學的職業也多樣化了。2009年的《華爾街日報》上，發表了一篇文章[2]，其中附有一張由CareerCast.com製作的，以工作環境、收入、就業前景、體力要求、體力強度為指標的職業排行榜。在這排行榜中，數學家榮登榜首，保險精算師和統計學家分列第二和第三，後面是生物學家、軟體工程師、計算機系統分析員等等。從這5個指標來看，數學家的收入不算很高，但綜合起來還排在第一，可見在其它方面佔有優勢。

2009年《華爾街日報》列出的職業排名表的部分內容

數學和它的基本特徵

什麼是數學？

從中學起，我們就知道數學是研究「空間形式」和「數量關係」的學科。數量關係，簡稱為「數」，空間形式簡稱為「形」；「數」的對象比如說自然數、複數、向量、矩陣、函數、概率等，「形」的對象比如說曲線、圖、空間、流形等。

數學實際上是一門形式科學，它研究的是抽象元素之間的「關係」和「運演算法則」。這些「相互關係」和「運演算法則」構成了數學「結構」。判斷數學結論的真偽，主要看其邏輯演繹是否正確，被實踐檢驗的只是構成這些「相互關係」與「運演算法則」的「結構」是否與實際相符。

肯尼斯?阿羅(Kenneth Arrow)

1972年諾貝爾經濟學獎得主

我們舉一個例子來說明。大家都知道平面幾何中的「平行公設」：在平面上過直線外一點，有且僅有一條直線平行於該直線。這是公設，是假定，可以由此推出平面幾何的很多定理。但為什麼在平面上過直線外一點有且只有一條直線平行於該直線呢？可不可以沒有？可不可以不止一條？就幾何學來說，假定只有一條，可以推出一大堆幾何命題，例如：三角形三內角之和為180°，這是歐氏幾何；假定有不止一條也可以推出另外一大堆命題，例如：三角形三內角之和小於180°，這是雙曲幾何；假定一條也沒有照樣還可以推出一大堆命題，這是橢圓幾何。雙曲幾何與橢圓幾何都是非歐幾何。那麼到底哪一種幾何的結論是正確的？這要看你把這些幾何結論應用在什麼範圍內，應用到什麼問題上去。在以地球為尺度的空間範圍內，歐氏幾何是適用的，實際上它與非歐幾何中的雙曲幾何的差異不大。當把宇宙作為一個整體來描述時，就要用雙曲幾何了。這有點像牛頓力學與相對論力學的關係。由此可見，決不能認為凡是數學上證明了的定理就是真理。只能認為這些結論是在它的「結構」中在邏輯上被正確地證明了。至於其是否與實際相符，還要檢查它的前提。從這個意義上說，數學只是一個形式體系。如果把數學的研究對象只用「數」和「形」來概括，那麼有些東西還無法概括進去，比如數學語言學。各種計算機的語言都是根據數學原理製做出來的，可語言是「形」還是「數」呢？看來都不是。又比如在「選舉」辦法上，一個非常有名的結論——阿羅不可能性定理[3]。阿羅(K.Arrow)是個經濟學家，諾貝爾獎獲得者，學數學出身。他證明了一條定理：對於不少於3個候選人的選舉按「排序」投票，不存在任何同時遵循以下四個原則的群體決策：

1. 無限制原則。（任何人可對所有候選人任意排序）

2. 一致性原則。（如果每個人的態度都是「A優於B」，那麼群體決策結果也應「A優於B」）

3. 獨立性原則。（添加或減少候選人，「排序」不變）

4. 非獨裁原則。（不能一個人說了算）

這也是一條經濟學上的定理：沒有同時遵從以上四條原則的「社會福利函數」。這是數學在其他領域——政治學、經濟學——的一個重要的應用。在這條定理中，哪裡有「數」？哪裡有「形」？可見「數」和「形」已經不能完全概括數學的研究對象了。現代人們不再限定研究對象是不是「數」和「形」，只要能對其建立數學模型，就能通過模擬計算來研究其中的規律，例如對於社會心理、動物行為等方面的數學分析。所以，數學研究的範圍擴大了，現在人們說數學的對象是：「模式」（pattern）、「秩序」（order）、「結構」（structure）。

純數學與應用數學

數學又劃分為純數學和應用數學，純數學在我國又稱基礎數學。研究數學自身提出的問題，劃歸純數學；研究數學之外(特別是現實世界中)提出來的問題劃歸應用數學。應該說，這種劃分只是大致的，並沒有嚴格的界限。一方面，純數學中的許多對象，追根溯源還是來自解決其它方面的問題，如天文學、力學、物理學等。比如幾何來源於測量：天文測量、大地測量。就在數學已經高度發展了的今天，從外部提出來的數學問題照樣可以轉化為非常有意義的純數學的問題，刺激出深刻的數學理論。比如說，Navier-Stokes方程是流體力學中的重要的方程，NP問題是從計算理論中提出來的問題，到現在都還沒有被解決，成為「千年七大難題」中的兩個。另一方面，純數學的理論在適當條件下也能在其它科學中放出異彩：群論和幾何對物理的貢獻是眾所周知的。大家都認為數論是很「純」的數學，但數論在現代密碼學中起重要作用，此外如傅里葉(Fourier)分析與通訊，隨機過程與金融，幾何分析與圖像處理等等都是這方面的例子。特別是，許多在應用數學中行之有效的方法都有深刻的純數學背景，如快速傅里葉變換，有限元方法等。

純數學大致有：數理邏輯、數論、代數、拓撲、幾何、分析、組合與圖論等分支，它們之間的融合與滲透又產生出許許多多的交叉分支，如代數幾何、代數數論、微分幾何、代數拓撲、表示理論、動力系統、泛函分析等，以及更多的子分支。

微分方程與概率論是介於純數學與應用數學之間的分支，它們的理論部分屬於純數學，其餘部分則是應用數學。計算數學與數理統計是應用數學最重要的兩個分支。

純數學對於問題的解答往往只停留在研究解的存在性以及個數上，未必討論解的具體演算法（如代數方程求根）。但實際問題的解答一般總要求具體的數據，單有純數學的結論不能滿足要求，因此還要研究演算法，以及如何對待巨大的計算量、存儲量、複雜性、精確性、速度、穩定性等等問題。這些就是計算數學要解決的問題。

以概率論為基礎的統計學稱為數理統計。日常生活、社會調查、科學實驗都積累了大量的數據，如何從這些數據中科學地得到有用的信息？數理統計研究如何通過有效的收集、整理和分析帶有隨機性的數據，對所考察的問題做出推斷、預測乃至決策的方法。

當代的數學已被應用到很多領域。自然科學：物理、化學、生物、天文、地質、氣象等，人文科學：經濟、金融、精算、語言、考古等。很多管理科學問題也要用到數學。

這麼多有用處的數學，表面上看都屬於應用數學。然而，正如Borel說的：「純數學和應用數學就像是一座冰山—水面上的是應用數學，因為它有用，大家都看得見；水底下的是純數學。」[4]沒有水底下純數學的深厚積累，上面的應用數學是建立不起來的。

數學的基本特徵

因為數學研究的是抽象的對象，所以應用範圍必然廣泛；又因為它的研究手段不是實驗，而是邏輯推理。這就決定了它必須是嚴密的和精確的。因此數學明顯地有如下基本特徵：

(1) 高度的抽象性與嚴密的邏輯性

(2) 應用的廣泛性與描述的精確性

數學應用的廣泛性不僅表現在：它是各門科學和技術的語言和工具，數學的概念、公式和理論早已滲透到其它學科的教科書和研究文獻中去了；而且還表現在：許許多多數學方法都已被寫成軟體，有的還被製成晶元裝置在幾億台電腦以及各種電器設備之中，成為產品高科技含量的核心，還有些數學軟體則是作為商品在出售。

在這些應用中，我想特別指出：數學是探求知識的重要手段。舉一個例子，歷史上許多重要的發現，沒有數學光靠實驗是不夠的。現在大家人人用手機，不論多遠幾秒鐘就能通上話，為什麼信息能傳輸得這麼快？靠的是電磁波。電磁波是怎樣發現的？

印在茶杯上的麥克斯韋爾方程組

英國理論物理學家、數學家麥克斯韋爾(Maxwell)運用電流的法拉第定律、安培定律、電荷的高斯定律和磁場的高斯定律，推出一組偏微分方程。在推寫過程中，他注意到原來的安培定律和時間無關，而且與其他幾個定律不相容。為了解決這個問題，麥克斯韋爾提出加上一「位移電流」到原先的安培定律中去，寫出了今天通用的麥克斯韋爾方程組，這個修正後的方程組導出波動方程，由此預見了電磁波。麥克斯韋爾以液體流動，熱傳導及彈性力學作為模型，認為「以太」是傳導電磁波的媒介[5]，儘管這種解釋在物理上是不對的，也講不清楚，但它的數學形式——麥克斯韋爾方程組卻是正確的，它奠定了電磁學的基礎。後來赫茲(Hertz)在實驗上證實了電磁波的存在。

同樣地，在量子力學電腦、相對論的理論建立過程中，數學也起了極為重要的作用。

在當今時代，科學計算更是在一定程度上取代實驗。一旦研究對象的機理已經清楚，準確的數學模型已經建立，就可以用模擬計算替代部分試驗，如核試驗等。

數學的基本特徵除以上兩條外，還有

(3) 數學研究對象的多樣性和內部的統一性

隨著數學研究對象的擴充，數學分支不斷增加，方向繁多，內容豐富。同時數學分支之間的內在聯繫也不斷被發現，數學內部的千絲萬縷的聯繫被愈理愈清。希爾伯特-諾特-布爾巴基(Hilbert-Noether-Bourbaki)利用數學分支間的這些被清理過的聯繫和公理化方法，從規定的幾條「公理」及其相關的一套演算規則中提煉出數學「結構」，如代數結構、拓撲結構、序結構等。數學的不同分支是由這些不同的「結構」組成的，而這些結構之間的錯綜複雜、盤根錯節的聯繫又把所有的分支聯成一個整體。在這方面反映了數學的統一性。

對統一性追求的意義在於：對於同一個對象可以從不同角度去認識，不同分支的問題可以相互轉化，理論和方法可以相互滲透，從而發展出許多新的強有力的工具，解決許多單個分支方法難於解決的重大問題。

回顧以下歷史是頗有裨益的。歷史上有三大幾何難題：倍立方問題，化圓為方問題，三等分角問題，都是「圓規直尺」的作圖題。兩千多年了，光用幾何方法研究，不知有多少人費了多少心血，可就是解決不了!在那些時代，代數學主要研究解方程。後來笛卡爾用解析幾何統一了幾何與代數。18世紀末到19世紀初，多項式方程可解性的研究繼高斯(Gauss)代數基本定理證明之後應運而生。高斯研究正多邊形的圓規直尺作圖就換了一個角度，把它看成一個多項式方程的可解性問題，從幾何問題轉化到了代數問題。後來阿貝爾(Abel)、伽羅華(Galois)在代數上把方程的可解性研究推向了高峰。

什麼樣的「數」能被圓規直尺作出來？對於事先給定了一組實數Q，能從它們「尺規作圖」出來的數x，就是從它們出發，作加減乘除以及開平方所能得到的數。也就是說：尺規作圖問題可解等價於存在正整數m，使得x屬於

，其中

三等分角的問題是：對任意給定的角θ/3。令α=cosθ，要做出數x=cos(θ/3)。x是多項式

?3x?α=

的根。只要證明對任意的正整數m，它的根x都是不屬於

的，就證明了三等分一個任意角只用圓規與直尺是不可能的！

1837年法國數學家Wantzel證明了以上方程連同倍立方問題對應的方程在{

|m=1,2,…}都是不可解的。後來，1882年林德曼(von Lindemann，希爾伯特的導師) 證明了π的超越性從而確立了尺規作圖化圓為方也是不可能的。兩千年前的三大幾何難題就是這樣用代數和數論的方法以否定的形式解決了！

現在數學已經發展成為一個龐大的、內部和諧與統一的、充滿活力的有機的整體，它是人類文化寶庫中一座既宏偉又精緻的創造物。

當代社會對數學家的要求

當今世界，數學已被應用到幾乎一切領域。然而現實情況一方面是，許許多多新的領域要求人們用數學的眼光，數學的理論和方法去探討；另一方面，科學的發展使人們的分工愈來愈細。18世紀以前的數學家中有不少人同時也是天文學家、力學家、物理學家；在19世紀，許多數學家還可以在數學的幾個不同分支上工作；但自龐加萊(Poincare)和希爾伯特(Hilbert)之後，已經沒有一個人能夠像他們當年那樣通曉數學全貌了。大多數的數學家只能在狹窄的領域內從事研究。這種過於專門化的趨勢對於數學學科的發展是十分有害的!這確實是個矛盾的現象。如果我們不能對當今數學的發展與趨勢有一個大致的了解，我們就不知道如何應對，也不知道應該怎樣培養學生。

當代數學發展的趨勢

當代數學發展的趨勢大致有如下幾個特點：

1、數學內部的聯繫進一步加強在指數增漲的研究文獻中，儘管數學的各個分支的前沿都在不斷推進，數學在深度與廣度兩方面都得到快速發展，然而不同分支之間的融合與相互滲透則是一個重要的特徵。這表現為：原來長期處於純數學邊緣的分支，比如偏微分方程和概率論，現在已經進入了純數學的核心。相隔很遠的分支間的內在聯繫不斷發現，如de Rham-Hodge定理、阿蒂亞-辛格(Atiyah-Singer)指標定理等。許多困難的問題都需要很多學科的知識綜合起來才能解決，例如，龐加萊猜想的提法本來純粹是拓撲學的，後來轉化為幾何問題，光從幾何也解決不了，最後是綜合使用偏微分方程、拓撲、幾何的思想、理論和方法才把這一個複雜問題解決了的。

2、數學與其它科學的交叉形成了許多交叉學科群比如，科學計算就是數學與物理、化學、材料、生物、力學等很多學科的交叉。數學與控制論、運籌學交叉形成了系統科學。數學與物理交叉，形成數學物理。此外還有計算機科學、信息科學、數量經濟學、金融數學、生物數學、數學化學、數學地質學、數學心理學、數學語言學等等很多的交叉學科。

3、數學應用的領域空前擴張，成為開發高新技術的主要工具信息安全、信息傳輸、圖像處理、語音識別、醫療診斷、網路、海量數據處理、網頁搜索、商業廣告、反恐偵破、遙測遙感，包括當代製造業、成衣業等等都大量應用數學。

數學家的職業

長期以來人們心目中的數學職業只是限於學術界和教育界：大學、中學教師和科研機構的研究人員。這種現象如今逐漸有所改變，有些公司也開始僱用學數學的人了。在一些發達國家，過去工業界（計算機）和商業界（比如統計、保險）僱用一些數學碩士、學士從事計算、統計、程序編製和數據處理工作。隨著工業中有趣的應用數學問題愈來愈多，近年來吸引了一定比例的數學博士和優秀的數學家，像弗里德曼(M.Freedman，1986年菲爾茲獎獲得者)，現就職於微軟公司。許多發達國家現在都有專門的機構支持工業應用數學的發展，這標誌著數學在這些國家的應用已相當廣泛。我查了美國最近幾期的《美國數學會通訊》(Notices of the American Mathematical Society)，從2003年到2008年，美國大概每年有800多名數學博士畢業後在美國求職。這800多個人中大約有200人，約佔四分之一，到工商業界去；其他的人都就職於各種類型的學校，有研究型的，也有教學型的。不過，從讀數學研究生到拿到數學博士學位其人數比大約是四比一，除去其中有些人轉到別的學科攻讀博士學位外，其餘大多數或是直接，或是再讀一個其它學位，如統計、精算等之後，都到工商業界和政府部門去工作了，這個數字可是驚人的。

學術界和工商界對數學的要求很不一樣。在學術界，要求發表論文，證明定理，推進數學的進展；工商界的要求則是解決問題，儘快給出結果。

對學術界來說，研究結果深刻、精確、有新思想的是好工作；工商界則要求有針對性和可用性，如果得到的公式雖然很廣泛、很精確，但計算起來太費時費錢，就不一定會被採用。對於學術界的人，做研究可以自由選題，不受限制；但是在工商界，數學家的工作是被指定的，開發的項目也是被指定的。大家在選擇自己的出路時要注意這些差別。

對數學家的要求

主修數學的人在學習過程中提高了抽象能力和邏輯推理能力，思考問題比較嚴密，學習那些屬於符號分析方面的新知識比較容易入門，這是學數學的人的優勢。他們當然也有劣勢，比如不擅長做實驗等。

（1）到工商界工作的數學家主要從事符號分析、數據處理、建模、編程等方面的工作。然而數學的寶庫是非常豐富的，如何採用更有效的理論和方法來解決問題，則要求更多地懂得該工作領域以及數學兩方面的知識。要想工作有成績，就不能只掌握幾套現成的方法，而是要拓寬數學的知識面。

（2）在交叉學科從事應用數學研究的數學家，更要深入到這個新領域中去，了解研究問題的來龍去脈。這些數學家並不以證明定理為成果的主要表現方式，而是創建好的模型。創建好的模型正如證明深刻定理一樣有意義，它是利用數學工具尋找客觀規律的重要手段。實際問題很複雜，如何抓主要因素，使之既能反映出主要現象，又能在數學上有辦法處理。這種抽象、簡化以及解決問題的方法是一種數學藝術。

然而在有些數學家中流行一種看法，認為應用數學是搞不了純數學的人才去搞的。這是極為錯誤的，也是有害的觀點！20世紀不僅有許多極有才華的應用數學家開創了許多應用數學分支，把數學的疆界空前地擴大了，如圖靈(Turing)、山龍(Shannon)；而且還有些在純數學領域中有卓越成就的數學家後來都又在應用數學領域做出了極富開創性的貢獻，如馮?諾依曼(vonNeu?mann)、維納(Wiener)、托姆(Thom，拓撲學家，1958年費爾茲獎得主)、斯梅爾(Smale，1966年費爾茲獎得主)，以及2007年獲得邵逸夫獎的芒福德(Mumford，1974年費爾茲獎得主)和吳文俊等。

(3)純數學的研究是非功利的。這個意義上有點像文學和藝術，也沒有統一的評價標準。研究的成果貴在創新。然而這種創新並不是數學家們沒有目標的隨心所欲的創造。正如柯朗（R.Courant）說過，「只有在以達到有機整體為目標的前提，只有在內在需要的引導下，自由的思維才能做出有科學價值的成果」。[6]整個數學是一個有機整體，學科之間是相互牽連在一起，互相補充，互相促進的。一項工作如果很孤立，和主流上的問題都沒有聯繫，也沒有多少新的思想，那麼就很難說意義有多大了。

數學分支間的融合與滲透是當代數學發展趨勢的一個特徵，要想在有意義的問題上做出貢獻，知識面一定不能太窄。然而當代大多數數學家工作面過於專門化卻是一種普遍現象。這有其內在的原因：數學的體系太龐大，內容又極為豐富，要想在前人工作的基礎上有所拓廣就很難有精力去了

解其它分支；同時也有其外在原因，數量劇增的研究人員產生了大量的研究論文，發表的論文多就逼迫研究人員多讀，而且「發表論文的壓力」又逼迫他們多寫，如此互為因果，也就無暇他顧了。這是當今國際學術界普遍存在的嚴重問題。然而研究貴在創新！真正的「原創」思想往往來自那些能「精通」看來相距遙遠的幾個領域，而且能「洞察」到把一個領域的結果用於解決另一個領域問題的途徑。那是建立在全面了解、長期思考、過人功力基礎之上的。

(4)有人說，我不想做研究，只想當老師教書。不錯，本來教書就是學數學的一個重要出路。作為大學，甚至中學的數學老師，對他們所教的學科也不能只掌握教科書上所寫的那一點內容，如果那樣的話，或者會把書教得枯燥無味，或者不得要領。反之，如果教師的知識淵博，再肯學習新東西教給學生，學生對學習一定會產生很大的興趣。事實上，只有那些熱愛數學，並能把數學看成活生生的、不斷發展著的人才能激勵起學生的好奇心和求知慾。很多數學家回憶自己走過的道路時，懷念當年的數學老師，正是這些老師把他們引進了數學的殿堂。我們現在正處於數學理論和應用空前大發展的時代，怎麼改革數學教育?怎樣的師資才能適應大發展的需求?這些都是需要我們認真思考的問題。

數學教育的重要性

作為一種「思想的體操」，數學一直是中、小學義務教育的重要組成部分。現在大學理、工、文、法、農、醫等科都有數學課，說明了人們認識到數學的重要性。不過，在許多學校，這些數學課的收效並不理想。原因可能是多種多樣的，要具體分析。比如某系課程表上規定要上數學課，任課老師未必知道為什麼這個系的學生需要開這門課。是作為「語言」的需要？專業課的需要？看書看文獻的需要？還是做研究的需要？這是不同層次的要求。不按需要教，就是無的放矢，學生自然沒有興趣，效果也不會好。所以我建議教非數學專業學生的教師首先要了解一下這個專業的需求。

改善數學教育

幾千年數學發展的豐富積累是人類的知識寶庫。在知識社會，這個知識寶庫是一種重要的資源。怎樣能讓這些資源共享，就要靠老師們傳承給各行各業的人。

如何改善我國現行的數學教育，我認為要綜合考慮以下幾方面：

知識。既重視基礎，也照顧前沿，特別要考慮受教育對象的需要和基礎。

能力。「數學是一種普遍適用的，並賦予人以能力的技術」。在教學過程中，不能只灌輸知識，更重要的是培養能力，包括計算能力（包括使用計算機進行計算的能力）、幾何直觀能力、邏輯推理能力、抽象能力、把實際問題轉化為數學問題的能力。而具體通過哪些內容培養哪些能力，或者培養哪幾方面的能力，教師要做到心裡有數。

修養。數學是一種文化。數學不是一門自然科學，它有文化的層面。受過良好數學教育的人看問題的角度和一般的人不完全一樣，數學能開闊人的視野，增添人的智慧。一個人是否受過這種文化熏陶，在觀察世界、思考問題時會有很大差別。會不會欣賞數學，怎樣欣賞數學，與數學修養有關，就如同欣賞音樂一樣，不是人人都能欣賞貝多芬的交響樂的。

然而數學修養不但對數學工作者很重要，對於一般科學工作者也重要。具備數學修養的經營者、決策者在面臨市場有多種可能的結果，技術路線有多種不同選擇的時候，會藉助數學的思想和方法，甚至通過計算來做判斷，以避免或減少失誤。詹姆斯?西蒙斯(JamesSimons)就是一個最好的例證。在進入華爾街之前，西蒙斯是個優秀的數學家。他和巴菲特的「價值投資」不同，西蒙斯依靠數學模型和電腦管理自己旗下的巨額基金，用數學模型捕捉市場機會，由電腦做出交易決策。他稱自己為「模型先生」，認為建立好的模型可以有效地降低風險。在西蒙斯的公司里僱用了大量的數學、統計和自然科學的博士。

發達國家在大型公共設施建設，管道、網線鋪設以及航班時刻表的編排等方面早已普遍應用運籌學的理論和方法，既省錢、省力又提高效率。可惜，運籌學的應用在我國還不普遍。

其實我們不能要求決策者本人一定要懂很多數學，但至少他們要經常想想工作中有沒有數學問題需要諮詢數學家。

數學修養對於國民素質的影響，正如美國國家研究委員會發表的「人人關心數學教育的未來」一書中所說：「除了經濟以外，對數學無知的社會和政治後果給每個民主政治的生存提出了驚恐的信號。因為數學掌握著我們的基於信息的社會的領導能力的關鍵。」[8]

對於教學改革的幾點意見

「十年樹木，百年樹人」說明教育的成果需要經過相當長的時間才能收穫。因此教學改革的效果也不可能立竿見影。這就決定了教學改革只能「漸進」不能「革命」。20世紀中期美國的「新數學運動」以及1958-1960年中國的「教育大革命」的歷史教訓必須記取！

要「改革」就可能有成功也可能有失敗，而且成敗未必就那麼容易察覺，有時很可能所得之處就含有所失，所以做改革實驗之前必須考慮到可能出現的問題與補救方法。

我們應當鼓勵實驗的多樣化。事實上每個教師都可以通過自己的教學實踐對具體教學內容進行改革，這是應當受到鼓勵的。所以教學改革的關鍵在教師，特別是教師的學術水平和知識視野。

我對於數學教學改革的具體意見是正確處理好：一般與特殊、抽象與具體、形式與實質的關係。特別在講述中，要避免過分形式化。大多數人學習數學並不是為了從事專門的純數學研究，形式化的教學會使人或如墮雲霧，或如隔靴搔癢，甚至令人望而生畏。即使是培養專門的純數學研究人才，形式化方法有時雖有其直截了當、邏輯清晰的優點，但過於形式化也不利於更深刻的理解。

我們不僅要關注主修數學學科學生的教學改革，也要關心其它學科的數學課程改革。事實上，數學在其它學科中應用的新的生長點往往首先是由該學科的研究者開始的，而且要使數學家能夠進入這個領域工作，也必須有該學科的研究者的幫助與支持。在這個意義上說其它學科數學課程的改革和數學學科的課程改革一樣重要。

詹姆斯?西蒙斯(James Simons)是世界級的數學家,曾和陳省身作出了以他們的名字命名的定理。他也是最偉大的對沖基金經理之一。2010年,他以85億美元躋身福布斯世界富人榜的第80位。

人人學好數學

我們不必過分誇大數學需要特殊的才能。數學特別難的印象往往是由於數學的書和文獻在表達中過於形式化的緣故。如果課堂教學是乾巴巴地「定義——定理——推理」形式地講，自學時也是亦步亦趨地跟著複習，那麼必然會感到枯燥乏味。但如果喜愛數學，而且「教」與「學」都得法，普通中等才能的人照樣可以學好數學，順利地完成大學數學的學業。然而學習方法很重要，每個人要根據學習的不同階段，來調整自己的學習方法。不斷認識自己，明確目標，不斷改進學習方法。

中國青年數學家的使命

「中國要成為數學大國」

中國沒有理由不能成為數學大國。

第一，中國有輝煌的古代數學——祖沖之、劉徽等都遙遙領先於他們的同輩西方學者。只是由於我國的封建社會太長，有很長一段時間不鼓勵科學發展，才落後於西方。

第二，老一輩數學家在20世紀初才從西方引進近代數學的「火種」。在不到100年這段期間，還經歷過八年抗戰和十年「文化革命」的災難，幾代數學家艱苦奮鬥，承上啟下，終於以2002年世界數學家大會(ICM2002)在北京召開為標誌，登上了世界數學舞台。

然而怎樣才算「數學大國」呢？我認為：第一，在基礎研究方面能在有重大意義的問題上，做原創性的、有自己特色的工作。或者是對數學的有機整體作出貢獻，或者是在交叉學科中獨闢蹊徑。我們要逐漸改變跟在別人後面走的狀態，爭取引領潮流，逐漸形成中國自己的學派。第二，在應用研究方面，中國數學家要為自己的國家，包括科學技術、國防建設、經濟建設等各個方面做貢獻，使數學真正紮根在我國自己的土地上。

我們在這方面確實還有相當長的路要走。過去我國自主創新的產品與我國的經濟狀況很不適應。許多在發達國家工商業界早已應用成熟的數學理論和方法在我國還沒有需求，也應用不上。因此我國和世界強國在研究基金和數學畢業生就業方面差別很大。以美國為例，美國數學研究基金除美國國家科學基金(NSF)外，還來自海軍、空軍、陸軍、國家安全局、高技術局、宇航局、能源部、健康醫療（NIH）等很多方面。除此之外，在美國，不僅傳統的科技領域，而且金融、保險、醫藥、信息、交通運輸、材料等等行業也大量應用數學。所以學數學的學生出路很廣，除了大學和研究機構外，還有許許多多大大小小的公司僱用數學家。不管經濟好壞，不大會有拿了數學博士學位而沒有職業的情況。這是因為：數學已經成為他們社會發展的需要。

現在我國經濟的發展已經到了提高GDP中科技含量的階段，對於我國青年數學家來說這是一個空前的機會，也一定是大有作為的！真正用數學來提高我國的科技、國防、經濟、管理各方面的水平是我們大家共同努力的方向。

抗拒「誘惑」，「鍥而不捨」

青年人要有充分的自信。「數學是年青人的學問」。大家都知道天才的阿貝爾、伽羅華在很年輕的時候就做出了劃時代的貢獻。如今儘管數學的內容已經如此豐富，體系如此龐大，研究人員如此眾多，然而真正有能力的青年數學家照樣可以脫穎而出！每四年一次的費爾茲獎就是獎給40歲以下青年數學家的。從歷屆菲爾茲獎得主的成就來看，「數學是年青人的學問」這句話至今依然未變。

我國當今青年一代數學家享有中國歷史上最好的學習條件和工作條件。包括圖書資料、網路信息和學術交流等方面都與發達國家相差無幾了。因此沒有理由說在中國不能做出第一流的成果。問題在於當今我們的學術環境不理想：急功近利，虛誇浮躁，正在腐蝕人們的思想，敗壞我們的學風。中國有志氣的青年數學家要自覺抗拒各種「誘惑」、抵制學術不端行為；要繼承優良學術傳統，要腳踏實地，不畏艱難，鍥而不捨，團結奮鬥；這樣就一定能夠實現中國的數學大國和強國之夢。

參考文獻

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