他是粉碎千年數學信念的奇才，愛因斯坦上班只為和他散步

知識 08-16

愛因斯坦與哥德爾

來源 SME

斯坦福大學物理學教授張首晟曾向斯蒂芬 · 霍金拋出過這樣一個問題：「如果讓你告訴外星人我們人類取得的最高成就，寫在一張明信片的背面，您會寫什麼?」霍金回答說：「告訴外星人關於美，或者任何可能代表最高藝術成就的藝術形式都是無益的，因為這是人類特有的。我會告訴他們哥德爾不完備定理和費馬大定理。這才是外星人能夠理解的事情。」

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接受採訪的霍金

霍金提到的兩樣人類最高成就中，後者即費馬大定理也許比較為人所知。至於稍欠知名度的哥德爾不完備定理，其在科學界的地位遠比它的名聲要高。哥德爾不完備定理的提出不僅打破了數學界無冕之王大衛 · 希爾伯特（David Hilbert）完善數學大廈的美夢。甚至一舉粉碎了自古希臘以來千萬數學家傳承了 2000 多年的信念。在數學領域之外，哥德爾不完備定理還深遠地影響到了哲學、語言學、計算機科學，甚至是宇宙學。而定理的提出者哥德爾，被認為是當代最有影響力的智慧巨人之一。美國《時代》雜誌曾評選出百位 20 世紀最偉大人物，在數學家中，哥德爾獨領風騷。

庫爾特 · 哥德爾（Kurt G?del，1906 ~ 1978）

哥德爾的私人生活也極富個性，他與夜總會舞女相愛並與其結為夫妻；與愛因斯坦相見恨晚，成為忘年之交。晚年的愛因斯坦說過：「我自己的工作沒啥意思，我來上班就是為了能同哥德爾一起散步回家。」

可這位自亞里士多德以來最偉大的邏輯學和數學家，最終卻因為受迫害妄想症而拒絕進食，因此結束了自己的生命。

成長的軌跡

庫爾特 · 哥德爾（Kurt G?del）1906 年生於奧匈帝國布魯恩，1978 年卒於美國普林斯頓，一生輾轉。可有一樣東西是從未改變過的，那便是他那古怪的性格。雖然出生在一個富有的上流社會家庭，但哥德爾從小就沒有權貴子弟的那種跋扈。反而相當的內向，十分依賴母親，以至於只要母親外出，他會立馬陷入恐慌造成的寡言當中。

在 6 歲那年，急性風濕熱侵襲了他的身體，讓他痛苦不堪。雖然不久後得以痊癒，但這段經歷一直在他心中留存，成為了日後影響他一生的心結。出於好奇，哥德爾在 8 歲那年翻閱醫學書籍，查到了自己曾患的風濕熱會對導致心臟衰弱。從此，哥德爾就一直對自己的健康問題耿耿於懷。

幼年哥德爾（左）

除此之外，哥德爾總體而言是一個非常聰穎的孩子。高中時，他的學識不僅超過了絕大多數的同學，在某些方面甚至趕超了他的老師。早在那個時候，哥德爾就已經展現出很強的強迫症，或者說是疑心病。有傳言說，哥德爾在整個高中時期都沒有犯下任何一個語法錯誤。

一鳴驚人

在維也納大學時，哥德爾最初主修理論物理。不過後來，他迷上了一位數學教師的課堂。這位教師頸部以下全癱，上課時必須要有助教協助才能完成板書。哥德爾很欣賞這位教師，癱瘓的身體也引起了他內心的一些共鳴。此外，哥德爾還參加了一個哲學討論小組，研讀如羅素的經典《數學原理》這樣的著作。漸漸地，他喜歡上了數理與邏輯，也轉到了數學系。

青年哥德爾

在獲得博士學位之後，他開始關注數學界的著名問題。其中，最遭人眼的莫過於大衛 · 希爾伯特發表的《數學問題》演講。希爾伯特總結了前人的數學研究成果，提出了23個最重要的數學問題。他認為解決了這些問題，我們的數學大廈將會趨於完美。這是希爾伯特的個人夢想，也是千百年來數學家不懈努力的共同信念。在希爾伯特提出這 23 個問題後，還在自己的退休演講中躊躇滿志地壯語：「我們必須知道，我們必將知道！」

大衛 · 希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）

然而就在希爾伯特退休後的第二年，哥德爾橫空出世，一舉解決了希爾伯特排在第二關於算術公理系統的相容性問題。不過並不是以希爾伯特想像中的方法，而是將其毀滅。

哥德爾提出的不完備定理證明了一個可怕的事實。任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，「相容」和「完備」是不能同時滿足的。

哥德爾不完備定理

第一不完備性定理

任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否。

第二不完備性定理

如果系統 S 含有初等數論，當 S 無矛盾時，它的無矛盾性不可能在 S 內證明。

從古至今，所有數學家都認為所有數學問題是可以被完美證明的，只要不斷地努力，總有一天數學將變得無懈可擊。而哥德爾不完備定理告訴所有人，數學問題並不是都能被證明的，你們的數學不是完美的。

希爾伯特的宏偉大業雖然沒有因此失去生命力，但哥德爾不完備定理的橫空出世顯然等於給它判了死刑。助手將哥德爾不完備定理轉告給希爾伯特時，他怒斥其荒謬。直到他仔細讀完了哥德爾的論文，才不得不承認自己的計劃可能永遠不能實現。此後，越來越多的數學問題被證明是不可判定的，哥德爾釋放出來的惡魔正在蠶食數學家們的信念。

摯愛與摯友

而這時的哥德爾正沉迷於一位比他大6歲的已婚夜總會舞女阿黛爾。與阿黛爾認識的時候哥德爾才21歲，巧的是第二年哥德爾搬家正好住在阿黛爾的對面，兩人的關係因此更近了一步。他一心想和阿黛爾喜結連理，可是阿黛爾出身不好沒有文化，除了跳舞表演外沒有謀生的技能。他們的這段關係遭到了家庭的反對，但兩人一直堅持了下來。最終，阿黛爾結束了自己7年的婚姻，在二戰爆發的前夕嫁給了哥德爾。

哥德爾與妻子

在這之後，二戰的爆發改變了哥德爾的後半段人生。哥德爾身邊有許多猶太朋友，導致外界誤認為他也是一名猶太人，因此遭到了很多不公的待遇。加上擔心自己孱弱的身體不能經受住兵役的摧殘，在 1940 年，他和妻子來到了美利堅合眾國，成為了普林斯頓大學的教授。也正是在普林斯頓，哥德爾遇到了他的畢生摯友——愛因斯坦。

此前，哥德爾曾 3 次訪問普林斯頓，第一次訪問時，在著名物理學家、「原子彈之父」尤利烏斯 · 羅伯特 · 奧本海默（Julius Robert Oppenheimer）的介紹下與愛因斯坦相識。兩人不僅年紀相去甚遠，性格也不搭，就連各種觀點也很少一致。

哥德爾內斂克制，高高瘦瘦，頭上濃密的棕發總是梳得油亮。即便是在炎熱的夏天也總是穿著乾淨整潔的西裝，博得了很多女學生的喜愛。和他研究的古老經典的數學與邏輯迥異，在審美上哥德爾不喜歡古典音樂與喜劇。而是偏偏獨愛迪斯尼的動畫片，看得興起還會大笑出聲。

而愛因斯坦外向而不羈，身材發福，稀亂的白髮呈放射狀分布在腦袋的後半部分。他討厭一切形式化的著裝打扮，雖然有時候也愛穿穿時尚的涼鞋，但本質上還是不屑於追隨世俗。在學術之外，愛因斯坦更愛拉小提琴，也愛一個人憂鬱地散步。

就是這樣兩個幾乎找不到共同點的人，奇蹟般地成為了摯友。用他們的同事，也是「戴森球理論」的提出者弗里曼 · 戴森（Freeman Dyson）的話說：「哥德爾是愛因斯坦的唯一良配。」有一次哥德爾打電話邀請愛因斯坦一起觀看迪斯尼，原本厭惡動畫的愛因斯坦竟然沒有拒絕。自那以後，他倆就經常一起上班一起下班，成為了形影不離的好友。

哥德爾在公眾面前似乎不愛談起他與愛因斯坦的關係，但在與母親的信中卻從不掩飾。他在信中說，每天上午十點多，愛因斯坦會到家裡與自己碰面。然後花上 30 分鐘走到研究所，下午吃過午飯後再花 30 分鐘一起散步回家。路上兩人一起討論政治、哲學、物理還有數學。愛因斯坦倒是很坦誠地表達了自己對哥德爾的喜愛，直接表示：「我自己的工作沒啥意思，我來上班就是為了能同哥德爾一起散步回家。」

愛因斯坦與哥德爾

憲法的漏洞

1947 年，哥德爾來美已經好幾個年頭了，在美國的生活確實挺讓他滿意。因此那年他決定加入美國國籍，在身份上與愛因斯坦更進一步。當年申請入籍不但需要面試，還需要兩位擔保人。擔保人這一點自然是不用擔心，摩爾根斯坦和愛因斯坦主動攬下這個任務。但是面試的過程中面試官可能會問及一些有關美國法律的問題，需要做做功課。可是沒想到哥德爾仔細研究了一遍美國憲法，發現了其中的不完備，他宣稱這個漏洞可以推理出美國會成為獨裁國家。最先得知這個情況的摩爾根斯坦不敢怠慢，馬上通知了愛因斯坦。愛因斯坦心知不好，如果讓哥德爾抓住了憲法的漏洞，必然會跟面試官發生爭執。

面試那天，愛因斯坦提出主動送哥德爾去政府辦公室。一路上為了阻止哥德爾鑽美國憲法的牛角尖，不斷地跟他講冷笑話，轉移他的注意力。可是很遺憾，哥德爾還是沒有忘記美國憲法的問題，一直跟面試官較勁。如果不是愛因斯坦及時地站出來調解，面試官不再糾結他的問題，哥德爾恐怕拿不到美國國籍。

看起來哥德爾與愛因斯坦似乎只是私交甚篤，實際上兩人在理論研究上也算得上是齊心協力。哥德爾在愛因斯坦轉戰統一場論之後，接手了廣義相對論的研究，在 1951 年還被授予愛因斯坦獎。

1951年，哥德爾接受愛因斯坦的親自授獎

巨人的隕落

美好的時光總是過得飛快，1955 年愛因斯坦因為腹部主動脈瘤破裂突然離世。這對哥德爾的打擊之大無法用言語形容，原本就有輕微妄想症，那之後他患上了嚴重的精神疾病。他開始不相信除妻子外的任何人，認為從冰箱或者暖氣里冒出的「壞空氣」會殺死他。也從不相信別人做的飯菜，總懷疑被會下毒，只吃妻子阿黛爾做的食物。可是當他的妻子也病倒了，哥德爾就只能吃一些簡單的食物，長期營養不良。

在愛因斯坦離世 23 年後，哥德爾終於追上了摯友的腳步。他最終死於拒絕進食導致的營養不良，臨終前體重不到 30 公斤。