亞伯拉罕?瓦爾德：數彈孔的數學大師

《戰狼2》的熱映，掀起了一股軍事熱。有科普武器的，有講解軍事常識的，有上網打聽葉門撤僑事件的。戰爭電影總是讓人思緒萬千——關於汗水、關於鮮血、關於犧牲與奉獻。

《戰狼2》海報[1]

這不由得讓人想起了第二次世界大戰。作為人類歷史上規模最浩大、影響最深遠的戰爭，第二次世界大戰，不僅在地域上橫跨六大洲、三大洋，而且包括了政治上的斡旋、軍事上的攻防，以及幕後智力上的較量。

亞伯拉罕·瓦爾德，就是這樣一位隱居在幕後的英雄。

奧地利的窮學生

亞伯拉罕·瓦爾德（Abraham Wald，也譯阿夫拉姆·沃爾德），1902出生於克勞森堡（Cluj-Napoca）。當時的克勞森堡隸屬於奧匈帝國，所以隨著第一次世界大戰的結束和奧匈帝國的解體，瓦爾德的家鄉也改換門庭，成為了羅馬尼亞的一部分。

瓦爾德　[2]

隨後的故事，老實說，有點缺乏可陳。和所有優秀的數學家一樣，瓦爾德很早就顯示出了極高的數學天賦，順利進入大學，選了幾個門外漢（比如我）聽到名字就會頭痛的課程，比如度量空間。

不一樣的地方在於，瓦爾德選擇了奧地利，進入了維也納大學，他的求學生涯，恰好趕在第一次世界大戰和第二次世界大戰之間。20世紀20年代的歐洲，就像一間失火的屋子。所有人都知道大事不妙，但是誰也不知道該怎麼辦，於是，各自使出了自己的求生手段，種族主義、反猶情緒，等等等等。

今天的維也納大學[3]

在這樣的氛圍下，作為一個猶太人，想在大學找到教職，顯然是不可能的。多虧了摩根?斯特恩（Morgenstern，博弈論的創立者），瓦爾德才找到了一份可以勉強糊口的工作。[4]

儘管時運不齊，命途多舛，瓦爾德仍然不願意放棄自己對數學的熱愛，希望能找一個可以安心研究數學的職位。1938年，納粹德國佔領奧地利以後，瓦爾德終於下定了決心——接受考爾斯基金會（Cowles Commission for Research in Economics）的邀請，去美國。[2]

實驗室里的特殊分子

瓦爾德是幸運的，他不僅順利逃到了美國，而且幾經輾轉，進入了哥倫比亞大學的統計研究小組；瓦爾德也是不幸的，一方面，他的家人因故滯留歐洲，死在了納粹的折磨之下，另一方面，他是統計研究小組最特殊的一個。

統計研究小組所在地（圖片來源見水印）

當時的統計小組，集合了全世界最頂尖的頭腦。比如弗雷德里克.莫斯特勒，哈佛大學統計系的創建者，比如，諾伯特?維納，控制論的創始人。

而瓦爾德呢？

雖然大家認可他的數學能力，但是他畢竟是一位來自敵國的僑民。所以，就出現了一個是很古怪的現象：瓦爾德必須根據需要，寫一些分析報告，因為人家請他來，就是干這個的；不過，寫完、上交以後，瓦爾德沒有權力查閱這些報告，因為這些報告屬於機密……

建立信任需要契機，那個契機很快就來了。

從某種意義上講，第二次世界大戰是飛機戰的開端，誰搶到了制空權，誰就佔據了主動。所以，戰爭期間，幾乎每天都有大量飛機參戰。於是問題就來了：敵人也不是吃乾飯的，你派飛機過去，人家自然會反擊，一來二去，飛機中彈、乃至失事，再正常不過，該怎麼提高飛機的生存率呢？

最簡單的方案，就是給飛機增加裝甲。當時的美國軍方做了一番調查，統計了飛機各部位的中彈數量。因為飛機對重量很敏感，沒辦法搞成坦克那個鐵疙瘩樣兒，所以，裝甲必須加在最需要的地方。

哪裡最需要裝甲呢？

軍方的統計數據[4]

看過這張圖表以後，相信很多人的第一反應是，「機身最需要」。

軍方也是這麼認為的，而瓦爾德，卻給出了截然相反的答案：引擎才是最需要加強的。

為了理解這個問題，我們可以假設，敵人發射的不是子彈，而是一團一團的油漆。一批飛機起飛、和敵人交戰，然後返回。因為飛機的機動性很強，空戰又是立體式的，敵人可能出現在任何一個方位。也就是說，飛機中彈，是一個隨機時間；對一架飛機來說，每一部分中彈的概率，是均等的；如果對這些飛機做一個統計，每個部位出現的油漆數量，應該十分接近。

這個結果為什麼和軍方的調查數據不一樣呢？

因為引擎中彈的飛機，往往飛不回來……

二戰飛機[5]

安裝裝甲的目的，是增加所有飛機的存活率。如果只關注那些順利返航的飛機的中彈情況，就會陷入邏輯誤區，這就是大名鼎鼎的倖存者偏差（survivorship bias）。這一理論，在今天，仍然有著很強的現實意義。比如，著名的臉書公司，在分析用戶偏好、處理用戶數據的時候，就用到了瓦爾德的理論；[5]再比如，當你在網上搜集減肥攻略的時候，你一定要記住：會在網路上分享減肥攻略的，通常是已經減肥成功的，這些人是「倖存者」，他們的經驗，不能照單全收。

決策論大師

一輩子做一件了不起的事，就足以留名青史了。然而，瓦爾德的征程才剛剛開始，還有更大的考驗在等著他。

瓦爾德[6]

打仗，打的是兵馬錢糧。槍支、彈藥、火炮，不僅要有，而且要好。任何一個環節出了問題，都有可能影響一場戰役。所以，軍用物資的檢驗，是一個大難題。

比方說吧，生產商生產了一萬發炮彈，軍方如何組織驗收呢？

最直接的方案，是挨個兒試、一發一發地打，然後做個統計表。當然，這麼做也就失去驗收的意義了……

戰爭時期的哥倫比亞大學工作人員[7]

最常用的方案，是抽樣檢查。驗收的一方，先定下一個標準，好比說，「炮彈合格率必須大於99%」；根據這個標準，挑選合適的樣本數量，抽取兩組，每組五百發，分別做測試，計算平均合格率；最後，用樣本的合格率，估算所有炮彈的合格率。

不過，軍用物資比較特殊。要檢查炮彈的合格率，你得先把它運到靶場吧？還得準備一些火炮吧？每個樣品都得發射出去吧？這一筆一筆的，都是錢吶。第二次世界大戰期間，美國以一國之力，參與歐洲、北非、太平洋三大戰場，哪怕再有錢，也得省著點花。

為了解決這樣的難題，瓦爾德開創性地提出了序貫分析的方案。[8]所謂序貫分析，就是按照一定的順序、次第進行抽樣。一萬發炮彈，要求合格率99%，平均來說，一百發炮彈里，最多可以有一發不合格的。那麼，從裡面先抽一百發出來，進行測試，如果不合格的炮彈數量大於一，就不用接著測試了，這批炮彈極有可能不符合要求；如果不合格的炮彈數量少於一，可以通過數學計算，判斷接下來還要不要借著抽，需要抽多少。因此，與傳統抽樣調查不同，序貫分析並不事先規定樣本數量，而是邊抽邊檢、根據結果調整後續行動。這樣，就能充分利用抽樣檢查的結果，既能保證準確性，又能大為減少浪費。[9]

大規模軍事行動中，設備、物質可靠性非常重要[10]

序貫分析，現在被稱之為序貫概率比檢驗（Sequential probability ratio test，SPRT）是一種十分傑出的數學思想。自其誕生以來，不僅在軍事科學被廣泛運用[11]，而且影響到了許多其他學科。

我舉個例子吧，中國是胃癌大國，而提高胃癌存活率的關鍵，是早期診斷。與此同時，中國人口眾多，挨個做詳細檢查，就算有那個錢，也沒那麼多醫生。所以，可以運用序貫分析的思想。首先，向人們發放調查問卷，有沒有上腹疼痛啊，有沒有食欲不振、消化不良啊，每一項都標註一個數字，表示與胃癌的關聯度；總分數特別低的，很好，患胃癌的概率很低，不用接著查了，分數比較高的，通過生化測試，檢查胃癌標記物；如果胃癌標記物顯示為陽性，就做詳細的胃鏡檢查。這樣，通過序貫分析，不僅可以節約資金，還能及早發現胃癌患者，提高其生存率。[12]

結語

因為序貫分析這個事兒，瓦爾德還和費歇爾（傑出的統計學家，被稱之為「統計界的凱撒」）鬧過彆扭。費歇爾認為，統計學的任務是進行數據分析、獲取相應的信息，而不是做出決策；至於瓦爾德，乾脆根據自己的研究，提出了統計決策理論。

村上春樹在《海邊的卡夫卡》中寫道：「世界萬物，無一不是隱喻。」身為普通人，我們都希望事件與事件是有關聯的，比如，陽台上出現一隻喜鵲，便意味著好事要發生。然而，「隨機」才是宇宙的本來面目。只有依靠統計，我們才能在變化莫測的世界生存。

令人難過的是，1950年12月，瓦爾德因飛機失事遇難。一輩子研究隨機性的人，最終殞命在一個隨機性事件上。

美國戰爭部的宣傳畫，左，數學拯救生命，右，數學抗擊納粹[13]

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參考文獻

[2] Abraham Wald[J]. Wikipedia, 2017.

[3] Universit?t Wien[J]. Wikipedia, 2017.

[4] 喬丹?艾倫伯格. 魔鬼數學[M]. 胡小銳, 譯. 中信出版集團, 2015.

[5] How A Story From World War II Shapes Facebook Today[EB/OL]. [2017-08-01]. https://www.fastcodesign.com/1671172/how-a-story-from-world-war-ii-shapes-facebook-today.

[6] SHOTTON R. Data lessons from a mathematical genius[EB/OL]. . http://mediatel.co.uk/newsline/2016/09/12/data-lessons-from-a-mathematical-genius.

[7] Columbia Forum: WWII & NYC | Columbia College Today[EB/OL]. [2017-08-13]. https://www.college.columbia.edu/cct/archive/summer13/columbia_forum.

[8] WALD A. Sequential tests of statistical hypotheses[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1945, 16(2): 117–186.

[9] 韋博成. 漫談統計學的應用與發展 (2)[J]. 數理統計與管理, 2011, 30(2): 254–270.

[10] Of B-17s, Math, Mediation, & Thinking | Triangle Smart Divorce Cary NC[J]. 2016.

[11] 劉奎永等. 序貫分析法在艦炮武器試驗中的應用[J]. 火力與指揮控制, 2004, 29(1): 98–102.

[12] 孫遠傑等. 早期胃癌序貫篩查的流行病學結果分析[J]. 中國臨床研究, 2010, 23(7): 560–562.

[13] MCRANEY D. Survivorship Bias[J]. You Are Not So Smart, 2013.

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