維度探索：四維空間和更高維度

科技 09-10

幾年前，VR設備還沒有大肆興起的時候，據說我們每天要在屏幕前度過8小時，有時甚至會長達十幾個小時，這段時間裡陪伴我們的包括手機，電腦，pad，智能手錶，電視甚至是街頭的電子廣告牌。這些屏幕里能顯示各式各樣的內容，解析度越高，色域越廣的顯示屏給我們的代入感也越強。簡單地說，透過一塊塊2D的屏幕，我們通過簡單「腦補」就可以獲得一種3D的體驗。我們能做到這一點有兩個原因，一是屏幕內顯示的內容本身就和現實世界十分相似，或者就是現實世界的錄像；二是我們本身生活在一個三維世界裡，這裡的一切對於我們來說都太熟悉了。許多藝術作品也是利用了這一點，創造出了很多3D畫作，錯覺藝術和立體圖等等。

經典的平面深坑畫作

手繪的立體圖，雙眼聚焦在屏幕後面的遠處產生重影，直到兩個正方體重疊

看到的3維效果是一個「不可能盒子」（文末提供更多初級立體圖供大家嘗試~）

四維超立方體（Hypercube）的12個面

那如果你眼前是一個四維或更高維度的物體呢，你還能輕易地腦補嗎？

答案幾乎是否定的。事實上，現代物理學的研究工作基於的假設是，宇宙中存在至少10維的空間（弦理論的基礎）。但就好像二維的紙片人無法理解3維物體一樣，我們身處三維世界，更高維度的物體已經超出了常人的認知。

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四維超立方體（Tesseract）在三維世界的投影

可以看到，四維空間里的物體轉動起來，在我們眼裡成了不斷變化的形體。這意味著，它還有一根隱藏的軸線，當它繞著那根隱藏軸線轉動時，物體憑空改變形狀的事情就發生了，這樣一來你還想像得出它完全體的樣子嗎？既然不能用感性的方法來理解，那我們不妨從數學的角度來理性的看看。

數學維度

一維物體在數學上可以看成是直線軸上的點，而一維的世界就是直線上的世界。在某個確定的「世界」中，你只需要一個數就可以確定一個點的位置，我們把它叫做x（不是嫌疑犯）。

由於整個世界就是一條直線，所以面積這個概念是不存在的。假如你生活在一維的世界裡，你看到的就只有遠近不同的點或者是它們連成的線段，感覺好像非常單調，但是畢竟除了點和線段之外你也沒見過別的東西，所以大概也還好。

一維世界（截取自Dimensions - A walk through mathematics）

二維物體在數學上可以看成是平面上的形狀，這個世界就是一個無邊無際的平板，由兩條相互垂直的軸構成，其中物體可以是各種奇怪的平面圖形，當然也可以是一個點。這時，在某個確定的「世界」中，你需要兩個數來確定一個點在哪，我們把它叫做（x，y）。

二維世界裡想要找到別人就不太容易了，除了距離之外你還需要一個方向，當然，這裡說的方向只包括前後左右這些平面里的方向。一件有趣的事情是：在二維世界中，你並不能一眼看出別人占的面積究竟有多大。因為你的視野限制在平面中，你能看到的「別人」全是一些沒有厚度的線段。

二維世界（截取自Dimensions - A walk through mathematics）

三維物體在數學上可以看成是空間上的形體，這個空間由三條相互垂直的軸構成。我們終於來到了熟悉的世界，裡面的物體有長有寬也有高度/厚度。當然，在某個確定的「世界」中，你就需要三個數來確定一個點在哪，我們把它叫做（x，y，z）。

三維世界似乎已經很多姿多彩了，你能想像到的各種物件應有盡有，它們可以盤根錯節，也可以規規整整，可以像雲一樣稀薄，也可以像鐵一樣堅固，還有所有一切你熟知的物理定律，化學規律。但是這一切的滿足感終是源自於自己的無知，我們感嘆現實世界的繁雜是因為沒有體驗過更高維度的世界。

三維世界（截取自Dimensions - A walk through mathematics）

四維物體存在於四維空間中，但是我們無法在三維空間再找出一根滿足垂直要求的軸線了，這第四根軸線註定不存在於我們的世界中，但是它卻留下了許多傳說。愛因斯坦曾把第四維度描述為時間，由此引申出了「時空」的概念，這樣看來我們也是生活在四維世界中的，只是存在的位置還不夠高，無法看清世界的全貌。

Credit: evoluasuaconsciencia 時空概念

基於這一想法衍生出來的理論很多，呈現出一種眾說紛紜的狀態，但是更多的是一種哲學性思考，從0維的「世界即是一個無限小的點」到10維的囊括宇宙所有可能的「真理」世界，可以簡單看成人們對自我認知的表述，或者理解成宇宙的形成過程。其中用「意識」，「感知」和「愛」來命名維度的做法Rex從理性的角度是不認可的。所以說，雖然同是四維，我們還是把「四維空間」和「四維時空」區別對待吧。

在二維馬路上創作的三維圖片

讓我們再回到數學維度中，既然添加軸線的幾何方法很難想像，我們就來嘗試代數方法。從x到（x, y）再到（x, y, z），遵循規律我們得出四維空間中的點由（x, y, z, w）來描述。

但是這裡多出來的w到底是幹嘛的呢？我們可以理解成，這裡一共存在許多個不同的三維世界，每一個世界都有一個編號，而這個編號就是w，要知道一個點在哪，我們除了知道三維空間里的位置之外，還要搞清楚它究竟在哪個三維世界裡，也就是要知道w到底是幾。這樣一來我們就知道如何找到一個四維空間中的點了，也就可以對四維物體進行「計算」了。

以此類推，在五維空間中的點需要5個坐標才能確定（x, y, z, w, v）。

從三維世界看一切

由於我們還去不到四維世界，但是好奇寶寶那麼多，想要看看四維的物體到底長什麼樣子的話，就需要投影到我們熟悉的三維世界來看。聽起來好像很複雜，其實我們只要抓住一件事就可以了，那就是數學原理。

為了方便，我們來看看各個維度下，數學中的「球」：