你每天聽的音樂、看的圖片，都離不開這個公式！

傅立葉變換對於各種數字技術來說是必不可少的。

這張圖裡大大的公式就是傅里葉變換（Fourier Transform），有了它，你才能每天聽 MP3 音樂，在網上看大量五顏六色的圖片，甚至降噪耳機也是根據它的原理來製造的。它是如何做到的呢？下面我們就來詳細說一說。

傅里葉變換之所以這麼強大，是因為它有種特殊的能力，能讓數學家快速理解不同信號中所包含的頻率信息。別小看這種能力，它至關重要。不光我一個人這麼認為，就連物理學家開爾文勛爵也在 1867 年表達過自己對這個數學方程不朽的愛，他寫道：「傅里葉的定理不僅是現代分析學最美麗的產物之一，也為解決現今每一個深奧的近代物理學難題提供了不可或缺的工具。」

「只有數學會把我們分開」

傅里葉變換，看名字就能猜到，它是由數學家傅里葉（全名讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉）發明的，並於 1822 年發表在他的著作《熱的解析理論》上。傅里葉對熱量如何流入材料並圍繞材料環流的過程很感興趣，在研究上述現象時，他得到了這個變換公式。那時，傅里葉並沒意識到他做出的貢獻到底有多麼重要，這一貢獻並不只針對數學和物理學領域，而是整個自然科學、工程和技術領域。

他最主要的突破在於發現，複雜信號可以表示成一系列簡單信號的簡單加和，這些簡單信號就是正弦曲線（就是你在中學時學過的像水波一樣，有波峰與波谷的規律曲線）。在鋼琴上同時敲擊三個琴鍵發出一個和弦，你製造出三個不同的音調，它們都各自穩定的頻率（音調體現了聲音的頻率），波形看起來就如同美麗的正弦波一樣。

但是將這些正弦波疊加在一起後，樂音的波形通常都會看起來很凌亂，就像這樣：

這看起來很複雜，但我們知道，它在本質上只是三個簡單正弦波的簡單加和。傅里葉靈光一現，意識到不管最終的波形多麼複雜，但它總是能表示成若干個（或無窮個）正弦函數的組合。對我來說，這個發現真正的天才之處在於，如果你能算出最終的波形是由哪些正弦波加和而成的，那麼你也就很清楚地知道了這些正弦波的頻率和數量，也就是說，你就能得到信號的準確頻譜了。

這就是傅里葉變換公式的作用。x(t) 是你試圖想簡化的巨大複雜的信號，e^(—jπ2ft) 看起來讓人有些恐懼，但事實上這指的就是正弦曲線。將這兩部分乘在一起，再把整體進行積分，這樣就能使方程逐一將每一個需要用來表示複雜的信號的正弦波函數挑選出來。所以，這個方程的結果 X(f)，給出了信號可以分解為的每一個正弦函數的振幅和時間延遲信息。

這就是傅里葉變換：它可以將原始信號分解為許多簡單正弦波，並把這些正弦波都表達清楚。這聽起來沒什麼用，事實上並非如此。

壓縮與傳輸

你在工作時可能需要網路來上傳、下載或傳送音頻文件，傳送的是什麼樣的音頻呢？你當然可以選擇傳送唱片公司最初錄製出的原始音頻，只是如果那樣，需要傳送的文件會非常大，因為這些文件是「完整」的、無損的：錄製時記錄下的所有頻率都被保存了下來，混合在一起得到了最終的音軌。但如果將一小段音軌進行傅里葉變換，你就會發現這些音軌中的一些頻率佔了絕對的主導地位，而剩下的頻率則幾乎沒有記錄。

MP3 文件格式恰好就利用了這點——它將幾乎察覺不到的和高於人類聽覺上限的頻率部分去除，從而達到節省存儲空間的目的。把整首歌曲分成成千上萬個小部分，再從中截去不重要的頻率，留下重要的頻率，最後被耳朵聽到的音軌里只剩下那些被留下來的最重要的頻率（音調）。這樣處理過後，文件的大小只有原始文件的十分之一，而我們也很難分辨壓縮後的音頻和原始音頻的區別。

降噪耳機同樣也使用了傅里葉變換：其中內置的麥克風可以記錄你周圍環境的噪音，並在所有頻譜里測量噪音的頻率，之後這些噪音的頻率會被反轉，然後混合到你的音頻內容里，這樣能抵消你身邊嬰兒的哭聲或公路上的雜訊了。

但是傅里葉變換公式可不只有這點能耐。到現在為止，我們只討論時間信號，如音頻方面的問題——但是他發明這個方程是為了幫助他自己解決材料熱流相關的問題，這說明它也有解決空間問題的方面的能力。對傅里葉來說，它可以將簡單的 2D 熱流類型進行加和從而表示更複雜的情況。而以類似的方式，用傅里葉變換來建立數字圖像也比一個像素一個像素地創建圖像更有效率。

無損圖像文件中每一個像素的顏色都是分別定義的。但在 JPG 格式的文件中，整個圖像被分割成很多很小的小塊，每一個小塊都經過了 2D 傅里葉變換。這樣能得到圖像中每一個小塊中顏色和亮度的變化的空間頻率等描述信息，而就像 MP3 的存儲方式一樣，JPG 圖像會將高頻部分留下來，也就是一張圖片中對比強烈色彩鮮明的那些細節。我們中的大部分人眼睛都不能分辨出色彩中很細微的變化，所以即使丟棄一部分也是很難察覺的。顯然，將圖片文件壓縮得越來越小的過程，就是將某些越來越低的頻率丟棄的過程。因為臨近的兩個子塊間顏色的變化會很明顯，所以圖片看起來感覺會有斑駁感。

除了視力和聽力受過良好訓練的一些人，對大多數人來說，使用像 MP3 和 JPG 這樣的壓縮文件在大部分情況下基本不會產生可以察覺的影響，它們看起來、聽起來還是那麼好，佔用的空間卻要小很多。換句話說，它們使數字圖像和音樂真正變為了現實，有了它們我們才能很便捷地分享音樂和圖片。對一個公式來說，這絕對是一個了不起的壯舉。毫無疑問，研究熱流的傅里葉也會贊成這個說法的。

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