如何用 TensorFlow 生成令人驚艷的分形圖案

最新 09-13

本文作者

何之源

，原文載於知乎專欄

AI Insight

，AI研習社獲其授權發布。

今天來介紹一個小項目：在 TensorFlow 中生成分形圖案。分形本身只是一個數學概念，與機器學習並無太大關係，但是通過分形的生成，我們可以了解怎麼在 TensorFlow 中進行數學計算，以及如何進行基本的流程式控制制，是學習 TensorFlow 的一個非常好的練手項目。

在開始之前，需要說明的是，TensorFlow 官方也提供了一個生成分形圖案的教程 (地址：www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot)，然而官方教程中生成的圖像實在是太丑了，而且只能生成一種圖案，我對官方的代碼做了一些改進，並且加入了多種類型的分形，此外，不僅可以生成圖像，還可以製作 gif 動畫，代碼已經放到了 Github 上：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground，主要的程序只有 50 行，歡迎大家參考。

Mandelbrot 集合

Mandelbrot 集合是分形中最經典的一個例子。考慮迭代公式（z 和 c 都是複數）。當為 0 時，得到的值可以組成一個數列，依次為。當該數列發散到無窮時，對應的點就屬於 Mandelbrot 集合。

如時，顯然數列永遠是 0，並不發散，因此 0 不屬於 Mandelbrot 集合。

又如時，對應的數列為，數字越來越龐大，因此 3i 就屬於 Mandelbrot 集合。

在二維平面上，將所有不屬於 Mandelbrot 集合的點標記為黑色，將所有屬於 Mandelbrot 集合的點按照其發散速度賦予不同的顏色，就可以得到 Mandelbrot 的經典圖像：

上面這張圖完全是使用 TensorFlow 進行計算的，類似的圖大家應該在網上也見過好多了，在 TensorFlow 中，我們定義下面的計算步驟：

xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64))

zs = tf.Variable(xs)

ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session():

tf.global_variables_initializer().run()

zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs)

not_diverged = tf.abs(zs_) < R

step = tf.group(

zs.assign(zs_),

ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32))

for i in range(ITER_NUM): step.run()

final_step = ns.eval()

final_z = zs_.eval()

zs 就對應我們之前迭代公式的 z，而 xs 就對應迭代公式中的 c。為了方便起見，只要計算時數值的絕對值大於一個事先指定的值 R，就認為其發散。每次計算使用 tf.where 只對還未發散的值進行計算。結合 ns 和 zs_就可以計算顏色，得到經典的 Mandelbrot 圖像。

Julia 集合

Julia 集合和 Mandelbrot 集合差不多，但這次我們固定 c，轉而計算髮散的 z 的值。即 c 是固定的常數（可以任取），數列變成。如果該數列發散，對應的 z 就屬於 Julia 集合。對此，我們只要在原來的程序中修改兩行內容，就可以生成 Julia 集合：

xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype))

zs = tf.Variable(Z)

我們在 fill_value=c 處指定了 Julia 集合中的 c 值，只要使用不同的 c 值，就可以生成完全不同的 Julia 集合！

默認：：

將 c 值變為，並調整顏色（調整方法參考 Github 頁面的說明）：

選用，圖案又變得完全不同：

生成 Julia 集合的動畫

在 Julia 集合中，每次都對 c 的值進行微小的改變，並將依次生成圖片製作為 gif，就可以生成如下所示的動畫，對應的代碼為 julia_gif.py：

GIF/251K

這裡由於上傳 gif 有大小限制的關係，只展示了一個小尺寸的動畫圖像。程序中提供了一個 width 參數，可以修改它以生成更大尺寸，質量更高的動畫圖像。

探索 Mandelbrot 集合

（注意：下面的圖片可能對密集恐懼症患者不太友好。。。因此慎重翻頁。。）

在前面生成的 Mandelbrot 集合中，我們可以將圖像放大，選取某些區域進行生成，就可以得到格式各樣造型迥異的分形圖案，對應的程序為 mandelbrot_area.py。

在 Mandelbrot 集合中，有很多地方圖案比較奇特，如下圖中的 9 個位置。

其中編號為 2 的地方被稱為「Elephant Valley」，因為此處的圖案與大象很像，直接運行 mandelbrot_area.py 就可以得到該區域的圖像：

編號為 3 的地方被稱為「Triple Spiral Valley」（三重螺旋），在 mandelbrot_area.py 修改一下坐標位置為 (ratio 調整的是顏色)：

start_x = -0.090# x range

end_x = -0.086

start_y = 0.654# y range

end_y = 0.657

width = 1000

ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6

就可以得到該處的圖案：

最後編號為 1 的地方被稱為「Seahorse Valley」（海馬山谷），對應的坐標為：

start_x = -0.750# x range

end_x = -0.747

start_y = 0.099# y range

end_y = 0.102

width = 1000

ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3

圖像如下，確實和海馬有一點神似：

生成更多的圖案

項目提供了兩個 jupyter notebook：Mandelbrot.ipynb 和 Julia.ipynb 可以對 Mandelbrot 集合、Julia 集合做更方便的探索。其中，Mandelbrot 集的更多坐標位置可以參考Quick Guide to the Mandelbrot Set（http://www.nahee.com/Derbyshire/manguide.html），Julia 集中更多有趣的 c 值可以參考Julia set - Wikipedia（https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set#Quadratic_polynomials）。網上類似的資源還有很多。

最後再安利一下項目地址：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground。如果代碼有什麼問題可以直接發在評論里或者在 Github 上提出 issue：）