指引前進，問題是數學活動的泉源

從數學歷史來看，數學理論的發展幾乎都源起於想解決一些特殊的問題。1900年，德國大數學家D. Hilbert（1862～1943年）在巴黎舉行的國際數學會議上，發表了〈數學問題〉的專題演講，其前文的前半段就闡明了這個觀點：

誰不願意將未來的面紗揭去，看一眼科學下一步的進步及進展的秘密？下幾代的主要數學精神追求的是那些特別的目標？在未來的世紀中，數學這個寬廣豐盛的領域又會產生那些新的方法以及新的結果？

回顧歷史就知科學發展是連續的。每一時代自有其待解的問題；這些問題到了下一代或許解決了，或者因解之徒勞無益，擱置一旁，而代之以新的問題。想要預知近期數學發展的梗概，我們就得注意那些發生在今日而期待在未來可解的問題。在此世紀接替之際，縱談數學的問題，自有其意義，因為此時我們不但要回顧過去偉大的成就，同時也要將我們的思索導向未來的發展。

許多問題在數學一般的發展上，或對某些研究者而言，具有極高的價值，這一事實殆無疑問。只要具有眾多的問題，一門科學就充滿了活力；問題短缺會使之趨於消失或失去獨立發展。就像一般的事業必須追求特定目標，數學研究需要的是問題。研究者以問題的解決衡量及鍛練其能力；他發現新方法，發展新觀點，使他的視野更寬廣、更自由。

事先準確判斷一個問題的價值是很困難的，甚至是不可能的；價值的判斷要取決於這個問題所帶給科學的進展。然而我們想知道是否有一般的標準來評判一個數學問題的好壞。一位法國老數學家說："如果你無法將一個數學理論弄清楚到可以解釋給街上任何一個人聽，那麼這個數學理論就不算完成。"對一數學理論如此清楚、易於了解的要求，我想更應加諸於所謂好的數學問題；清楚、易於了解使人嚮往，複雜使人排斥。

更有進者，一個數學問題要難得吸引人，但也不能難到無從下手。它必須是真理謎陣中的指標，及成功解答後喜悅的回味品。

過去的數學家都熱忱地投入解決某些特定的難題。他們深知難題的價值。想想John Bernoulli提出的"最速下降曲線"這個問題就好。Bernoulli在公開提出這個問題時說：由經驗得知，使偉大人物得以促進科學進步的動力，也不過是在他們面前擺著又難同時又有用的問題。所以為了贏得數學界的感謝，他就效法Mersenne、Pascal、Fermat、Viviani等先賢，在許多偉大的分析學家面前，提出他想到的問題，以作為他們的方法，他們的能力的試金石。變分法就因Bernoulli的問題及其他的類似問題而產生了。

大家都知道，Fermat認定

xn+yn=zn

這樣的方程式沒有正整數解（n>2）。尋求解答這樣一個特殊的、看起來不重要的問題，居然會對數學發展深具啟發性，這是問題之有用的顯著例證。 Kummer 為了解決 Fermat 問題，引進了理想數，發現它們在圓分體中具有唯一分解成質因子乘積的性質。Dedekind 及 Kronecker 將之推廣到一般代數體，使之成為現代數論的中心論題，而其意義更遠超出數論範圍，進入代數及函數論的領域中。

再提一個相當不同的領域，三體問題。Poincaré 所帶給天體力學的豐富方法及深遠原理，就起因於重新研究三體問題這個難題，以便尋求更近似的解答。

Fermat 及三體是兩個極端類型的問題。前者是純理論的產物，屬於抽象的數論，後者因天文需要而生，是了解自然界最基本現象的要素。還有，同一個題目也時常引起在極端不同的數學領域中有所應用。譬如，最短曲線問題在幾何基礎、曲線曲面論、力學以及變分法各方面，都扮演了極重要的角色。F. Klein 在二十面體方面的研究，其在初等幾何中多面體問題、在群論、在方程式論以及在線性微分方程所具有的影響，更強烈支持這種觀點。

為了強調問題的重要性，我可以再提到 Weierstrass。他說，他在科學研究生涯之初，能夠遇到像 Jacobi 反轉這樣重要的問題，實在幸運之至。

說了問題在數學研究的重要性，我們再來探討問題的來源。當然每一數學分支中的最老問題都來自經驗與自然現象。甚至連數字計演算法則在文明之初都是如此而得，就像今日的小孩從經驗學得這些法則一樣。古時傳下來的幾何問題，像是倍立方、圓化方，也是一樣。還有數字方程式論、曲線論、變分法、Fourier 分析以及勢能論也是一樣，更不用說那些屬於力學、天文及物理的問題。

但要使一門數學再往前進展，就得靠人類的思索促使其成為一門獨立的學問。一門學問經由邏輯整合、一般化、特殊化、巧妙分辨、整理各種想法及新而有用的問題等等，不必有外在因素的具體影響，一樣可以自我增殖。質數理論及數論的其他問題、Galois 的方程式論、代數不變數論、Abel 及自我同構函數論──事實上，幾乎所有的現代數論及函數論的好問題都是這樣產生的。

而當純理論創造能力發揮之際，外在世界還是發生作用，使我們由實際經驗得到新問題，使我們面對新的數學領域。而在用純理論開展這些新領域時，我們曾找到那些古老未解問題的答案，使古老的理論有所進展。在我看來，數學家在各種領域中觀察問題，提供方法與想法中，所得那麼多而驚人的類同與和諧，其原因都是來自這種理論與經驗經常的交互作用。

在探討了問題之對數學的重要性及數學問題的來源後，Hilbert又談到如何判定一個數學問題是否得解，然後結束前文。接著Hilbert花了很多的時間談論23個他認為對今後數學發展曾有重大影響的數學問題。這就是所謂的"Hilbert數學問題"，它們的確是好問題，的確在二十世紀的數學發展史上扮演了非常重要的角色。

這23個問題是：

一、Cantor連續體的基數問題，

二、算術公理的無矛盾性，

三、等底等高兩四面體的等積性，

四、兩點間最短路程做為直線的問題，

六、物理學公理化，

七、某些數的無理數性及超越性，

八、質數問題，

九、任何代數體中最一般的互逆法則，

十、決定Diophantine方程式的可解性，

十一、係數為代數數的二次式，

十二、推廣Kronecker的Abel擴張定理到任何代數體上，

十三、七次方程式不能用兩變數函數來解，

十四、某些完備函數的有限性，

十五、Schubert演算法的嚴密基礎，

十六、代數曲線與曲面的拓樸，

十七、正定型的平方和表現，

十八、以全等多面體鋪成空間的問題，

十九、正則變分問題的解都是解析的？

二十、一般的邊界值問題，

二十一、給定Monodromy群，線性微分方程式的存在問題，

二十二、以自我同構函數做解析關係的一致化，

二十三、變分法的進一步開展。

問題固然是數學活動的泉源，Hilbert的數學問題固然證明了這個觀點，但並不是每一個問題都能激起有意義的數學研究。法國數學家J. Dieudonné在其著作《A Panorama of PureMathematics》中，把數學問題就其對數學發展的影響分成幾類。

一、死產了的問題：問題本身未得解決，試求解決的過程對數學的發展也未產生幫助.譬如Fermat質數問題：除n=0,1,2,3,4外，22n+1還可能是質數嗎？及Euler常數的無理數性問題：limn∞(1+1/2+...+1/n - logn)是無理數嗎？

二、無意義的問題：問題雖然解決了，但對其他問題的進展毫無影響。許多排列組合的問題屬於此類。

三、產生方法的問題：用來解決問題的方法或其變形可以解決許多類似或更複雜的問題，雖然我們不一定了解這些方法所以能夠解題的關鍵。解析數論及有限群論就有許多這樣的例子。

四、活躍領域中的問題：問題的研究終究能夠找出意想不到的背後基本結構，不但解決原來問題，而且提供普遍性的方法，以闡明其他領域中的許許多多問題。譬如，李群與代數拓樸是目前的典型例子。

五、衰退領域中的問題：Hilbert也說過，如果沒有不斷的新問題的刺激，一個數學理論不可能活躍。一旦一個數學理論中的大問題已經解決，與其他數學領域的關係也弄清楚後，研究者就會鑽起牛角尖來。不變數理論就曾有幾次演變成這種階段。

六、稀釋領域中的問題：選對了公理的系統可以導出很好的理論與技巧。一個公理系統的成功常使研究者漫無目的變更公理，以期再造佳績；當然，這種期望往往落空。（這類研究者往往舉不出研究對象的應用實例，所以Dieudonné幽默地說他也不舉出這一類型的例子。）

當然第四類問題最重要，其次才是第三類問題。其他類的問題就數學發展而言都是毫不足道的。問題是數學活動的泉源，如何選擇有意義的研究問題，Hilbert給了典範，Dieudonné提出了判斷標準。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！