前方高能：又一個證明地球是圓的的辦法

作者， Evelyn Lamb ，猶他大學數學助理教授。

翻譯，donkeycn，哆嗒數學網翻譯組成員。

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

你如何才能知道你所處的星球看上去像什麼？一種方法是發展太空計劃，發送飛船，並從遠處拍攝星球的照片。只有極少數的人帶著相機離開過這個星球的表面在太空中看過它，然後他們告訴我們：我們的星球看起來像一個球體。但是如果他們是在說謊呢？而最近的一篇文章表明，如果一個全球性的陰謀需要由所有的空間機構，宇航員和行星科學家來共同維繫，這將是非常困難的，因此我們不必認為他們在欺騙我們。

除了發展太空計劃之外，有一個從數學上講非常聰明，但不太可能進行實際操作的方法來算出我們所生活的星球的表面究竟是什麼曲面：那就是使用歐拉示性數（這是眾多以萊昂哈德·歐拉的名字命名的詞條之一）。人類知道地球是球體遠遠早於太空計劃，甚至哥倫布都知道地球是一個球體。因此，地球是球體這個結論不是因為太空計劃而得出來的。

就像年齡一樣，歐拉示性數只是一個數字。對於一個二維曲面如一個盒子，沙灘排球，或星球而言，它是該對象的頂點數減邊數加面數，或者用公式表示：V-E+F。我們將從一個簡單的例子開始，一個正方體。正方體有8個頂點，12條邊，和6個面，所以最終可得8-12+6=2。

那如果是一個球體呢？在這裡，沒有現成的頂點和邊。我們必須把它們畫出來。一個方法是在地球儀上畫出赤道和一些經線。或者，如果你身邊沒有地球儀，那就用個柚子，然後綁上橡皮筋。

因為我沒有球形攝像機，所以如果你自己沒有柚子，那麼你就聽我說吧，這些橡皮筋在相交處共產生了6個頂點，12條線段，以及8個三角形，因此它對應的歐拉示性數為6-12+8=2（這些數字看起來和正方體的那些很像。你知道這是為什麼嗎？）。

在你們準備實施這樣的計算前，總會有因為需要做出選擇而帶來的不確定性。我們所面臨的選擇是在柚子上如何綁這些橡皮筋。不同的綁法會不會導致不同的計算結果？這一次我將使用四根橡皮筋。

現在它有10個頂點，21條邊，以及13個面，我們再來算一下，10-21+13=2。

事實上，不論我們如何通過畫線或者綁橡皮筋來分割球面，我們最終都會得到歐拉示性數為2這個結果。當然你可以不相信我的話。雖然一個嚴密的證明對你來說可能過於複雜，但是你可以很容易地通過自己的塗鴉來確信這點。隨意畫一個形狀，在裡面隨意畫一些頂點和邊，然後再隨意添加一個頂點和一些邊，歐拉示性數有沒有發生變化？擦去一條邊，又會發生什麼變化？

歐拉示性數是一個拓撲不變數，這意味著拉伸或擠壓不會改變它，只撕裂或粘合可以。現在歐拉示性數，可以用來確定一個曲面的拓撲形狀，但卻不能用來確定它更精細的特徵。例如，正方體，球體，四面體，以及其它像它們這樣的封閉形狀都有相同的歐拉示性數因為他們都是拓撲等價（註：「拓撲等價」用拓撲學術語來說，就是「同胚」）的。

如果你是一個對科學好奇的人，卻沒有機會進入太空去看地球，同時你又不想迷信於古代科學家或美國航空航天局的話，你可以利用歐拉示性數來確定地球的拓撲形狀。你所需要的僅僅是幾個朋友和一堆繩子。讓他們每個人都站在地球的某處，每個人都拉住幾根繩子的一端。現在你需要做的就是數數有多少個人（註：對應於頂點數），有多少根繩子（註：對應於邊數），以及有多少個被那些繩子分割成的區域（註：對應於面數）。然後算一下歐拉示性數，V-E+F。

如果你得到的是2，那恭喜你。因為在拓撲意義下，歐拉示性數為2的曲面只有球面。

如果你得到的不是2，那麼可能是你算錯了。現在讓我們假設你是在一個陌生的星球上，其拓撲形狀還不知道。該星球的一些其它特徵將有助於你確定它的表面究竟是何種曲面。

首先，它是有限的嗎？或者，即使是沿著同一個方向走，也永遠走不到底？如果它是無限的，你就無法把它分為有限個有限的部分，並因此無法計算歐拉示性數，如果是這種情況，那你是不幸的。因此我們將假設所有的情況都是有限的。

接著，我們來考慮可定向性。莫比烏斯帶是最著名的不可定向曲面：如果你從它的邊界附近的某個點出發，沿著邊界一直走（註：始終不跨越邊界），你最終會回到你出發的那一點，唯一的不同是：此時你在莫比烏斯帶的另一邊。如果你是在可定向曲面上，你知道它具有內外（註：也可能是「上下」或「左右」或類似地其它的）之分；這將導致當你回到出發點時，你永遠不會出現上下顛倒的情況。不論你所在的星球是否是可定向的，都可以使用歐拉示性數來確定它的拓撲形狀。

最後，我們來考慮邊界。你覺得你可以從它的邊緣（註：如果存在的話）走出去嗎？如果可以的話，有多少彼此分開的這樣的邊緣？可能只有一個也可能有多個。也許你有理由相信它的形狀像一個平環（註：對應於恰有2個分開的邊緣）或字體變胖了的「8」（註：對應於恰有3個分開的邊緣）。

可定向的情況下，歐拉示性數以及邊界的分支數（註：「邊界的分支數」為拓撲學術語，可認為即上節中「彼此分開的邊緣數」）可以唯一確定你所在的星球表面是何種曲面。如果歐拉示性數是2，你可以確定你是在球面上。增加一個邊緣將導致歐拉示性數減少1，所以如果歐拉示性數是1，你就是在有1個洞的球面上，同時它是與平面多邊形拓撲等價的。如果歐拉示性數是0，你可能生活在一個環面，或一個平環上。

當你知道了你所處的星球看起來像何種拓撲形狀之後，接下來你可以試圖找出它的幾何形狀。如果歐拉示性數是2，你可以試著確定你是否生活在球體，正方體，足球，或其它一些奇怪的形狀的表面上。在這裡歐拉示性數就幫不了你了。我建議你從埃拉托斯特尼（Eratosthenes）以及其他古代天文學家那裡吸取經驗，用影子來研究地球在每一特殊的點處是如何彎曲的。愛薩恩·西格爾（Ethan Siegel）會告訴你關於這些的一切。

致謝：我第一次接觸到「使用歐拉示性數來確定星球的拓撲形狀」這個想法，是在我的朋友、猶他大學的數學家凱文·沃特曼（Kevin Wortman）的一次演講中。B.o.B.以及Neil deGrasse Tyson激勵我完成了本文的寫作。

*為回應評論，我需要說明一下，你圍起來的區域，中間不能有洞。也就是說，它們應該像盤子，而不是平環。用專業術語來說就是「單連通」。確保每個區域都是「單連通的」的一個方法是把曲面分割成一個個三角形（註：用專業術語來說就是「三角剖分」曲面）。

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

點擊展開全文

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！