薄型鋸片鋸切硬脆石材橫向振動模型 白碩瑋，張進生，王長會，王志，黃波，程鵬

荒料鋸切是石材製品生產過程中第一道也是最重要的一道工序，鋸切工藝不僅關係到本工序的成本和效率，還影響其他工序的加工效率和質量[1-2]。目前鋸切硬脆石材使用最廣泛的是金剛石圓盤鋸機[3]。為提高石材荒料利用率、減小鋸切鋸縫、提高加工效率，超薄鋸片高速鋸切技術受到了石材加工行業的青睞。然而鋸片厚度的降低，導致鋸片彎曲剛性下降，容易誘發橫向振動[4]。鋸切加工過程中的鋸片橫向振動會造成鋸片壽命下降、鋸縫不直、毛板表面質量下降，從而增大後續研磨拋光工序的加工難度、降低加工效率；研磨量的增大不但浪費了珍貴的石材資源，也增加了車間粉塵的產生；另外高速旋轉鋸片的橫向振動產生高頻、刺耳的雜訊，也對車間工人的身心健康造成危害[5]。現有報道中，與此相關問題的研究較少。

文獻[6]運用FAM分析了圓鋸片在軸向力作用下的橫向變形整體形貌。文獻[7-9]研究了鋸切過程中圓鋸片橫向振動隨鋸切參數的變化規律，但對圓鋸片軸向變形情況未作討論。文獻[10-11]研究了特定載荷下不同鋸片結構穩定性和失穩條件，指出可以從鋸片結構優化的角度提高鋸片臨界載荷。文獻[13]指出在實際工程中，鋸片的失穩現象不多，鋸片失效受結構因素和使用因素(鋸切參數)的共同影響。所以有必要研究鋸切力與鋸片所受軸向力的關係，建立橫向振動的數學模型。文獻[14]建立了圓鋸片的橫向振動的微分方程模型，並利用數值方法進行了求解，但沒有闡明軸向力與鋸切力(鋸切參數)的關係，限制了模型的應用。

本文將圓盤鋸鋸切過程由鋸齒行波引起的自激振動引入到橫向振動模型的研究中，在與鋸片同速旋轉的坐標系下闡明鋸切力與軸向力的關係，建立附加軸向力模型，進而在薄板理論的基礎上建立鋸片加工過程橫向振動模型，最後基於Newmark數值方法對模型進行演算法設計，並編製相應求解過程的模擬程序。

1 金剛石圓鋸片橫向振動的理論模型

1.1 受力分析

金剛石圓鋸片對硬脆石材的鋸切過程，是鋸齒上的金剛石節塊對石材不斷磨削的過程，鋸片受到鋸切弧區內石材對金剛石節塊的作用力[14]。該作用力實際上是沿著鋸切弧區分布的，為了方便研究鋸片橫向振動的機理，只考慮鋸切弧區內單個鋸齒的金剛石節塊上的一對力，即沿圓鋸片徑向的法向力Fn和與圓鋸片相切的切向力Fτ，這兩個力的合力表示為鋸切力F，如圖1所示[12]。

圖1 金剛石圓鋸片鋸切過程受力分析

Fig.1 Mechanical analysis of circular saw in sawing process

在加工過程中由於石材的脆性特點，磨削過程中會產生一定的硬質碎粒，在鋸縫中對鋸片產生擠壓，使鋸片產生微小的橫向撓度；另外，鋸片的切入狀態也難以保證嚴格的垂直於石材荒料。因此，在金剛石圓鋸片高速旋轉過程中，會發生行波橫向振動，產生軸向變形，在鋸片的基體外緣處出現軸向彎曲波。當波形旋轉時，波峰、波節、波谷先後經過參與磨削的鋸齒，鋸齒就繞圓鋸片的半徑產生一定程度的扭轉。這裡仍然認為鋸切力F及其分力Fn和Fτ對鋸齒上金剛石節塊的作用方向不變，這樣鋸切力也就繞圓鋸片半徑有所轉動，因此就產生了附加的軸向力。圖2分別表示金剛石圓鋸片有橫向撓度和無橫向撓度時，從徑向看鋸切力的方向。

圖2 圓鋸片鋸切力的方向

Fig.2 Direction of sawing force

(a) 無撓度 (b) 有撓度

鋸切力沿圓周連續轉動，碎屑與鋸齒產生接觸力並成為橫向振動激振力的情況，只可能發生在切削弧區內。而在特定瞬間，弧區內受到碎屑擠壓(或因金剛石節塊不垂直於中性面而在進給中發生扭轉)的位置可以認為是唯一的。因此假設在某一瞬時時刻，因受到硬質碎粒擠壓而產生微小撓度的齒數為1，即將鋸切力引起的軸向附加力當作集中力處理。則金剛石圓鋸片受到鋸切力隨時間的變化函數如圖3所示。

圖3 鋸齒受到的鋸切力隨時間的函數

Fig.3 Sawing force on saw as function of time

金剛石圓鋸片主要振動類型為節徑型振動。引入一個與圓鋸片同速旋轉的動坐標系，在該坐標系內看到的鋸齒只有振動而沒有旋轉，原來固定位置的鋸齒則在以-ω的角速度旋轉。圖4是從金剛石節塊向鋸片中心方向看到的一個波形展開，由圖中可以得圓鋸片受到的軸向力為

Fx=(Fτ/r)(?x/?θ)

(1)

其中

θ=-ωt

式中Fτ——鋸切力的切向分力，Fτ保持恆定

r——鋸切力作用的半徑

x——鋸切力作用點處的橫向振動位移

θ——鋸切力作用點的位置角

ω——鋸片旋轉角速度

圖4 鋸片波形展開圖

Fig.4 Expansion of waveform of circular saw

1.2 橫向振動微分方程的建立

石材加工中使用的圓鋸片徑厚比都超過100，因此可以將其視為板殼理論中的薄板元件[16]。且圓鋸片的橫向振動位移不會太大，因此可用薄板件小撓度理論來研究圓鋸片的橫向振動問題[14]。由薄板理論可以得到金剛石圓鋸片在極坐標下的橫向振動微分方程為

(2)

其中

式中D——圓鋸片的彎曲剛度

E——鋸片基體材料的彈性模量

h——鋸片厚度

μ——泊松比

D*——鋸片的彎曲阻尼係數

極坐標下的拉普拉斯運算元

w——鋸片橫向振動撓度，是極坐標下r、θ和t的函數

q——鋸切力的軸向分力在整個金剛石圓鋸片表面上的分布集度

結合式(1)可以表示為δ的函數形式

(3)

其中，ω為圓鋸片的轉動角速度，在轉動的極坐標下，t時刻鋸切力作用點的坐標為(r,-ωt)。所以圓鋸片的橫向振動的微分方程為

(4)

2 模型求解

2.1 橫向振動微分方程的變換

對於1.2節中建立的橫向振動模型，設金剛石圓鋸片的橫向撓度w(r,θ,t)為復模態的Fourier-Bessel級數，即

(5)

其中

(6)

式中m——節圓數n——節徑數

ψmn(r,θ)——金剛石圓鋸片符合邊界條件的(m,n)階復模態

Rmn(r)——符合邊界條件和正交條件的Bessel函數

qmn(t)——鋸片橫向變形的複數廣義坐標

根據振型的正交性，可以得到

(7)

(8)

其中

式中A——整個圓鋸片的盤面

——ψmn(r,θ)的共軛複數

ωmn——對應鋸片振型ψmn(r,θ)的固有頻率

根據金剛石圓鋸片幾何形狀的對稱性條件可以得出

將式(5)代入式(4)，方程兩邊同時乘以然後沿著整個圓鋸片表面積分，利用各振型的正交條件式(7)和式(8)，可以得到關於qkl的微分方程

(9)

其中τ=ωcrtβkl=ωkl/ωcrΩ=ω/ωcr

ωcr=min{ωkl/l;k=0,1,2…;l=0,1,2,3…}

式中ωcr——圓鋸片的最低階的臨界角速度

設：qkl=qkl(1)+qkl(2),k=0,1,2,…;l=0,±1,±2，…，將qkl代入式(9)，並將實部和虛部分解得

(10)

2.2 基於Newmark方法的模型求解演算法研究

2.1節對金剛石圓盤鋸橫向振動模型進行了求解預處理，將偏微分方程(4)轉換為微分方程(10)。求解出之後，得鋸片上任意點行波振動的瞬態響應為

(11)

採用紐馬克(Newmark)法對微分方程組(10)進行求解，為表達清楚，將微分方程組(10)寫成[17]

(12)

引入速度和位移關係

(13)

(14)

令每一步積分滿足t+Δt時刻的末端方程

(15)

將式(14)變為

(16)

將式(16)代入式(13)得

(17)

將式(16)、(17)代入式(15)，得到

xn+1=

(18)

其中

(19)

(20)

可以證明，其中滿足時，紐馬克法無條件穩定[18]。根據式(16)～(18)就可以逐步計算出圓鋸片上任一點、任意時刻的位移、速度和加速度。採用Matlab編製了求解演算法的程序，程序流程圖如圖5所示。

圖5 鋸片橫向振動模擬程序流程

Fig.5 Flow chart for transverse vibration simulation procedure

3 模擬與實驗驗證

3.1 圓盤鋸石材鋸切實驗

為驗證模型及模擬的有效性，在日照市內一家石材加工企業對石材(五蓮紅(G3763))鋸切過程的橫向振動位移進行了實時監測。實驗測量對象是QJS260/3型鋸機，安裝鋸片的參數如表1所示。圓鋸片橫向振動測試系統主要由應變感測器(應變片)、KD6007型動態應變儀、AZ208型數據採集儀組成。實驗中鋸片處於高速旋轉狀態，因此應變片信號的傳輸需要一定的輔助裝置。文獻[13]報道了一種基於無線感測的信號傳輸技術，然而大中型鋸機的鋸片兩側均有冷卻液裝置，噴嘴位置靠近中心法蘭且噴射流量大，易使無線感測節點損壞或干擾信號傳輸，因此本實驗選用了導電滑環輔助傳輸信號。為了降低滑環動態接觸電阻對測量結果的影響，實驗專門採用了電氣雜訊低的mt12型水銀導電滑環；為了配合減少滑環動態電阻對測量精度的影響，實驗選用了MF120-3AA-Q5型高阻應變片。

表1 實驗用鋸片的基體材料性質和結構參數

Tab.1 Saw blade parameters of material properties and structure in experiment

圖7 橫向振動信號

Fig.7 Transverse vibration signal

(a) r=610 mm (b) r=405 mm

由文獻[19]和鋸片的應用實踐分析發現：鋸片的斷裂常出現在靠近鋸齒根部位置；鋸片半徑中間位置容易出現開裂現象。因此在進行實驗時，盡量測量鋸片徑向後半段的振動。2個應變感測器位置分別在距離中心610 mm(應變片1)、405 mm(應變片2)處。實驗中改變鋸切轉速vs、鋸切深度ap、進給速度vf3個鋸切參數的大小，以自來水作為切削液。實驗的採樣頻率為4 000 Hz，鋸切振動測試系統裝置如圖6所示。

圖6 鋸切實驗

Fig.6 Sawing experiment

圓鋸片半徑上任意位置處的撓度位移與應變εi的關係可以表達為[13]

(21)

由式(21)可知，圓鋸片任一點的撓度位移wx與該點的實驗測量的應變εi呈線性關係，因此本實驗中應變感測器測量的結果經過轉換後，可以直觀反應金剛石圓鋸片在鋸切過程中橫向振動的情況。

採用參數vs=27 m/s、ap=40 mm，vf=2 m/min，應變片1和應變片2兩處的橫向振動信號如圖7所示，空載時鋸片應變片1處橫向振動的曲線如圖8所示。比較圖7a與圖8可知，鋸片對石材的鋸切作用是石材加工過程中橫向振動的主要原因。鋸切時金剛石圓鋸片上2個測量點的橫向振動均具有較為明顯的周期性，周期長度為1.75 ms左右，對應著2個相鄰鋸齒斷續磨削石材的時間間隔。圖9包含了所有鋸齒進出切削弧區一周對應的橫向振動曲線(應變片1處)，可以看出，在鋸片的旋轉周期上橫向振動呈現出微弱的周期性。

圖8 610 mm處空載橫向振動信號

Fig.8 Idle transverse vibration signal at 610 mm

圖9 610 mm處旋轉周期橫向振動信號

Fig.9 Transverse vibration signal of rotation period at 610 mm

3.2 模擬結果分析

在距離中心610 mm和405 mm處分別取3組鋸切參數進行實驗，測試結果和模擬結果的對比如圖10～12所示，可知橫向振動的實驗結果和模擬計算結果的變化趨勢相符合。鋸片的橫向振幅在齒通頻率對應的周期內出現了波動，對應著鋸切力產生的軸向附加力對鋸片節徑型橫向振動前行波的增強作用和對後行波的衰減作用。分析模擬計算結果與實驗結果存在差異的原因為：本文建立的橫向振動理論模型基於均勻圓形薄板理論，而實際實驗鋸片基體材料並非絕對均勻且存在一定端跳，另外基體外圓所焊接的金剛石節塊也不能保證完全共面。這導致實驗結果不像模擬結果那樣在一個周期內出現軸對稱分布，而在鋸片旋轉一周對應的時間上形成微弱的周期(圖9)。在分析鋸片承受軸向附加力時，理論模型把碎渣與鋸齒的擠壓視為點接觸，即某一瞬間鋸齒受到的附加軸向力是集中力，而實際情況應為面接觸。這使得在時域坐標上，實驗曲線領先模擬曲線一定的相位。本研究中的模型和演算法是基於節徑型振動的求解。論文僅針對節徑型振動進行了軸向激振力分析，然而鋸片在加工過程中儘管節圓型振動特徵不明顯，但其存在仍會造成實際振動波形的微弱的增益或衰減。

圖10 實驗測試與模擬結果變化曲線(vs=27 m/s，ap=40 mm，vf=2 m/min)

Fig.10 Curves of experimental result and simulation result (vs=27 m/s，ap=40 mm，vf=2 m/min)

(a) r=610 mm (b) r=405 mm

圖11 實驗測試與模擬結果變化曲線(vs=27 m/s，ap=50 mm，vf=2.5 m/min)

Fig.11 Curves of experimental result and simulation result (vs=27 m/s，ap=50 mm，vf=2.5 m/min)

(a) r=610 mm (b) r=405 mm

圖12 實驗測試與模擬結果變化曲線(vs=40 m/s，ap=60 mm，vf=3 m/min)

Fig.12 Curves of experimental result and simulation result (vs=40 m/s，ap=60 mm，vf=3 m/min)

(a) r=610 mm (b) r=405 m

在3組不同鋸切參數的加工條件下，距離中心610 mm和405 mm兩點橫向撓度的模擬和實驗結果的相對誤差分別為7.9%、12.8%、6.8%和8.6%、11.3%、6.6%。說明本文建立的模型可以有效地模擬金剛石圓盤鋸鋸解硬脆石材過程中的橫向振動。

4 結論

(1) 在分析了鋸切硬脆石材過程中鋸片產生軸向變形原因的基礎上，引入一個與鋸片轉速相同的旋轉坐標系，在該坐標系中對鋸片進行了受力分析，並在行波振動理論的基礎上建立了鋸片的軸向附加力模型。

(2) 利用彈性力學中的薄板理論結合軸向附加力的分析，建立金剛石圓鋸片的橫向振動模型，運用復模態理論和適當的數理方法對模型進行了預處理，基於Newmark方法對模型進行了求解，並編製了模擬程序。

(3) 設計了石材鋸解生產現場鋸片的橫向振動監測實驗，對鋸片上不同位置、不同工藝參數下的橫向振動進行了採集。通過採集數據與模擬結果的誤差計算與分析，驗證了模型的有效性。

(4) 建立的橫向振動模型不依賴於任何指標的測量，通過相關參數(鋸片結構參數、材料參數、鋸切參數等)的輸入，獲得鋸片任意位置的橫向振動位移。橫向振動模型可為鋸片結構的優化、鋸切機床的設計[20]、鋸切過程降噪、鋸切表面質量提高以及加工參數優化等方面的研究提供理論支持。

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