大自然說數學話（一）

（乾貨滿滿，自帶涼水。細細消化，隨手點贊。）

從牛頓的萬有引力，我們看得出數學與物理有密切的關係，而且近三百年來的發展，更證明了物理幾乎離不開數學：古典力學體系總結於Lagrange及Hamilton的微分方程式；聯繫宏觀現象與微觀現象（如氣體動力學）用的是統計的方法；電磁學經由Maxwell方程式而脫胎換骨；狹義相對論找到Minkowski的非歐幾何模型；廣義相對論植基於Riemann幾何學；量子力學的不同描述法經由泛函分析統一後，有新的詮釋；基本粒子經由群論而看出一些規則性；最近的物理學則越來越用矢量叢的理論，做為其演繹的語言。物理學中，無論是決定論的想法，或是機率論的想法，數學總有相應的語言可資使用。另外，物理學中有些原理，如守恆原理、最小作用量原理、對稱原理等，都是數學式的語言，很容易用數學的方法處理。

數學在物理學中有這麼重要，我們禁不住要問："數學為什麼這麼有用？"，"數學在物理理論的建立與演繹過程中到底扮演什麼樣的角色？"

數學為什麼這麼有用？最簡單的答案是："自然說的是數學話。"這種想法大約起源於公元前600年左右。那時候一些希臘哲學家認為大自然是循然有序，依照一定模式來變化的。於是他們用數學的方法來描述變化的原因，預測變化的結果。他們最先認為自然是用整數來建立的，這就是畢氏學派的（數學）原子論。其後又認為自然是依幾何方式來變化的，這種想法從公元前四世紀的同心球理論，到公元二世紀Ptolemy的周轉圓理論而確立。Kepler雖然捨棄了周轉圓的理論，但他還是以幾何的語言來描述行星的運動。

牛頓以及他那一世代的科學家都是虔誠的教徒，他們的發現雖然使人更確認自然是說數學話的，但也證明了天體運行和地面運動遵守同一定律，因此眾星與地球沒有什麼不同，而且上帝子民的地球居然也不過是躲在宇宙中的一個小角落裡。這樣的發現雖然違反了宗教的固有信念，但他們到底在宗教與科學的兩極中找到了平衡點：他們堅信上帝是個超級的數學家，科學家的努力只不過是在了解上帝創造宇宙的意圖與計劃。

然而由於人類一再用推論的方法尋找到了自然的規律，宗教信仰變成與科學工作無關的另一件事。拿破崙發現Laplace在其談論宇宙系統的著作"天體力學"中居然沒提到上帝，而以此相責。Laplace回答說："我並不需要這樣的假定。"從此以後，科學的研究基本上與宗教的信仰分了家。

上帝是超級數學家的假定沒有了，但是科學家還是堅信自然是說數學話的，數學繼續成為科學工作者不可或缺的工具。到了二十世紀，科學家發現自然所說的數學話居然不完全是牛頓式的，於是科學家的態度有了一些改變，不再認為他們能夠直接找到自然的真理;他們能做的是提供數學的模型，逐次逼近自然的真實狀況。愛因斯坦說："宇宙解不開的謎在於其可理解性。"又說："迄今為止的經驗使我們有理由認為，自然是最簡單的、可以構想到的數學概念的一種體現。"

"自然說的是數學話"是否回答了"數學為什麼這麼有用"這個問題？自然是否說的是另一種我們還不知道的，比數學還真確或內容更豐富的語言？我們無法回答。許多數學家或物理學家對"數學為什麼有用"這個問題加以探討，譬如Wigner的文章《The unreasonable effectivenessof Mathematics in the natural sciences》，Dyson的文章《Mathematics in the physicalsciences》及Kline的書《Mathematics and the Search forKnowledge》，都是很有名的。然而說來說去，他們的結論，無論是明指或是暗示，還是"自然說的是數學話"，或者轉而舉出許多"數學怎樣有用"的例子，來說明"數學為什麼有用"。"自然說的是數學話"是物理學家的信念，否則他們的研究就會失去了方向。

討論"數學為什麼有用"，很容易超出科學的範疇，進入哲學的領域。我們不想做哲學式的思辨；退一步，我們想知道"數學是怎樣有用的"，因此把焦點轉向第二個問題："數學在物理理論的建立與演繹過程中，到底扮演什麼樣的角色？"

還是以牛頓力學體系數學模型建立的過程為例。牛頓根據已有的物理觀測，用數學幫著猜出向心平方反比的萬有引力，按著又靠著數學，證明萬有引力定律不但包容已知的Kepler行星運動定律，而且可以解釋更多的已知現象，更進一步還能預測許多未知的景況。推敲新模型、核對已知、預測未來，數學在物理中幫著做這些事。

我們還可以從另一角度來看"數學是怎樣有用的"，亦即，數學做為一種語言有什麼特色，使得它能對物理這麼有幫助。

首先，數學是種精簡的語言。想想看，如果把數學字眼從Kepler的三個運動定律中拿掉，而代之以一般敘述性的用語，則如何把它們說得清楚？想想看，萬有引力公式F=GMm/R2，若用普通用語說出來，會成什麼樣子？

有了精簡的語言，用它來推論就很方便。如果推論是證明式的，那麼只要前題正確，其結論也是百分之百正確的；根據百分之百正確的結論再證明而得的新結論也是百分之百正確。如此反覆進行，所得的各個結論，雖然離開最原始的假設甚遠，也不用擔心其正確性。

反觀其他求得結論的方法，如歸納、如模擬、如例舉，甚至臆測也可能得到正確性相當高的結論。但是如果這樣的結論不是百分之百正確的。那麼據之再推得的新結論又要打折扣。如此，只要距離原始的假設稍遠，結論的正確性，經過七折八扣，就幾乎等於零了。

物理學中用數學做長程推論的，雖然不一定完全遵行嚴謹的證明程序，但總不會離得太遠，其可靠性就相當大；用數學算出一個海王星是個出名的例子。

數學發展的特色之一，是建立內在自動推論的機制。臂如有了代數，算術的推論過程就由數本身的代數演算規則完全代替。有了坐標幾何，幾何問題也轉成代數計算。微積分則代替了幾何加上極限這種複雜的推論過程，而且微積分的運算又力求代數化。由此可見，數學之能成為犀利的推論工具，正是數學的一大特色。

（未完待續）

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