大自然說數學話（二）

（乾貨滿滿，自帶涼水。細細消化，隨手點贊。）

（接大自然說數學話（一））

數學語言由於精簡，一些不是決定性的次要物理內涵不在式子中出現，而減少干擾。有些物理學家可從精簡的數學公式，不經嚴格的推論而預想出一些未知的物理現象。Maxwell把Faraday有關電磁場的想法數學化，歸納成幾個簡單的方程式，而使電學與磁學統合成電磁學。他更從這些方程式出發，推導出電磁波的方程式，而此電磁波在真空中的速度正與當時所知的光速相近，因此預測光也是一種電磁波，可見光只是電磁波譜中的一部分而已。後來發現無線電波，證明Maxwell預測的完全正確。Hertz說："我們不得不承認，這些數學公式不是完全人造的，它們本身是有智慧的。它們比我們還聰明，甚至比發現者也聰明。我們從這些公式所得到的，比當初放到這些公式中的還多。"

Dirac把相對論用到量力子學里，而得到有關電子波的一組方程式。從其中看出電子可能有正能量與負能量兩種狀態。假想在填滿負能量的"電子海表"出了一個缺時，這個"空洞"的行為就如同一個帶正電的粒子。此粒子不應該是質子，因其質量比電子大得多。所以他預測有一種稱為正子的粒子，其質量及各種性質相同於電子，只是電性相反。他又預測有反質子。這些在日後都經實驗證明為真；整個反粒子理論似乎就是從方程式中跳出來的。

類似的例子很多，尤其在量子力學及粒子理論中，更是到處可見。這種現象使Wigner有感而發，而把他的文章定為"數學在自然科學中令人無法理解的有效性"。

總而言之，從數學語言的特性來看，數學不但有表達、計算、推論的能力，甚至有時還有啟發的功能，也難怪物理是離不開數學的。

然而在物理學的發展過程中，數學不是永遠站在它這邊的。同心球與周轉圓理論，使天文學停留在錯誤的模型上長達1800年之久。Kepler堅信圓與球是最完美的，等速是最合常理的，使得他在確立行星運動定律上多花了好幾年。牛頓堅信古典幾何的美，順應時人的習慣，所以用古典幾何寫他的書。他的著作使人嘆服，然而也妨礙別人做迅速而深入的了解。傳統的積習常使人裹足不前。

另外，數學與物理各有其研究的目的與方法，兩者在發展的過程當中雖然常相提攜，但性格上卻有不兼容的地方。有良好的數學基礎固然對物理的了解有很大的幫助，然而物理絕不能單靠數學而能有所成的。

我們也可以把數學與物理的角色倒過來，看看物理如何促進數學的發展。古代的天文學使數學逐漸發展了複雜的計算方法與理論，如平面三角學、球面三角學、對數及內插法等就是。力學體系的建立，數學功不可沒；但微積分、微分方程、變分法、複變函數論等分析學的各分支，無不因面對各種力學問題的挑戰，而日益豐富起來。

從十九世紀開始，理論性數學發展迅速，受物理的刺激較少，數學與物理似乎分了家。然而自然是說數學話的，純理論發展出來的數學，有些在日後就有用了，向量分析、非歐幾何學、Riemann幾何學、泛函分析、概率論、統計方法、群論、矢量叢理論等等都是具體的例子。對物理而言，數學就像擺在櫥窗里的衣服，隨時等候選用。

可是物理促發某些數學發展的傳統並不就此消失。廣義相對論使Riemann幾何學的研究熱絡起來，Jordan、von Neumann、Wigner等人為了量子力學而發展的某些矩陣理論，引發了所謂的Jordan代數；Dirac的不是函數的δ函數，終於促使數學家研究起超函數(distribution)。只要自然所說的數學話還沒有真象大白，這種傳統還是會繼續下去的。

在驚嘆數學對物理這麼有用之餘，我們不得不提出上述幾點，以免過分渲染數學在物理學中的客卿地位，而使物理學本身的特色模糊不清，或者使數學受益於物理的事實隱藏不顯。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！