喝醉的酒鬼會漫無目的地遊盪，花粉也會 | 張天蓉專欄
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花粉也會「喝醉」，圖片來源：pixabay
編者按：
上一篇我們探討了概率與統計中一個重要的概念——
隨機過程。
概率及隨機過程的數學模型已經被廣泛地應用到包括金融、氣象、物理、信息及計算機等各門學科的研究中。在此基礎上，波爾茲曼、麥克斯韋、吉布斯等物理學家們建立了統計力學，維納及香農等建立了資訊理論。
而布朗運動就是隨機過程中的一個典型事例，並由此促進了統計物理及其它相應學科的發展。
撰文 | 張天蓉
（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 呂浩然
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花粉的啟示——布朗運動
1905年是愛因斯坦的奇蹟年，這個26歲的伯爾尼專利局小職員發表了5篇論文，箭箭中的、篇篇驚人，為現代物理學的三個不同領域作出了劃時代的貢獻：光電效應開創了量子時代，狹義相對論顛覆了經典時空觀，對布朗運動的研究則促進分子論的發展。
這三項成就中，或許是因為光電效應和狹義相對論太過耀眼，人們常常低估了愛因斯坦對布朗運動的研究，就連他本人也是如此，經常提及前兩項而忽略後者。
回溯歷史，當年愛因斯坦有關布朗運動的論文
（包括他的博士論文）
對現代物理學的貢獻毫不遜色於其它兩篇。查詢愛因斯坦文章被引用的次數[1]
：最多的是EPR佯謬（15168次）
，第二位便是布朗運動（8950次）
，然後才是光電效應（4626次）
及相對論（註：以上引用次數截至2015年）
。
那麼，什麼是布朗運動？1826年，羅伯特·布朗
（Robert Brown，1773 - 1858）
在用顯微鏡觀察時發現：懸浮在水中的花粉微粒不停地做凌亂不規則的運動，一些學者以為那是某種生命現象，但後來發現，液體或氣體中各種不同的、與生物毫不相干的懸浮微粒，都存在這種無規則運動。直到十九世紀70年代末，才有人提出這種運動的原因並非外界而是出自液體自身，是微小顆粒受到周圍分子的不平衡碰撞而導致的運動（圖1）
。
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圖1：布朗運動的雜亂軌跡及其成因
今天，站在巨人肩膀上的我們把原子和分子的概念當作理所當然，在百多年前卻不是這樣。儘管道爾頓
（John Dalton，1766 - 1844）
1808年在他的書中就描述了他想像中物質的原子、分子結構，但是這種在當時看不見摸不著的東西有多少人會相信呢？一直到道爾頓之後過了八、九十年，著名的奧地利物理學家玻爾茲曼（Boltzmann，1844 - 1906）
還在為捍衛原子理論與「唯能論」的代表人物作鬥爭。在十九世紀70年代，玻爾茲曼超前地用分子運動來解釋熱力學系統的宏觀現象。以玻爾茲曼為代表的原子論支持者認為：物質由分子、原子組成，而唯能論者則把能量看作是最基本的實體並視為世界本源。玻爾茲曼有傑出的口才，但提出唯能論的德國化學家奧斯特瓦爾德
（Friedrich Wilhelm Ostwald，1853 - 1932）
也非等閑之輩，他機敏過人、應答如流，且有在科學界頗具影響力卻又堅決不相信「原子」的恩斯特·馬赫（Ernst Mach，1838 - 1916）
作後盾。然而，原子論的支持者看起來卻寥寥無幾，且大多數都是些不耍嘴皮的實幹家，並不參加辯論。因此，玻爾茲曼認為自己是在孤軍奮戰，精神痛苦悶悶不樂。儘管在這場曠日持久的爭論中，玻爾茲曼最終取勝，但卻感覺元氣大傷，最後走上自殺之路。
原子論的反對者們當年常用的一句話是：「你見過一個真實的原子嗎？」為此，大多數物理學家都在試圖用更多的實驗事實來證明原子的存在。1900年，奧地利物理學家埃克斯納
（Franz S. Exner，1849 - 1926）
反覆測定了布朗微粒在1分鐘內的位移，證實了微粒的速度隨粒度（顆粒的大小）
增大而降低，隨溫度升高而增加，由此將布朗運動與液體分子的熱運動聯繫起來。這下好了！雖然分子、原子太小，難以觀察，但它們所推動的布朗運動看得見！愛因斯坦接受了這種將布朗運動歸結為液體分子撞擊結果的理論，並希望通過分析布朗運動，作出定量的理論描述，以證明原子和分子在液體中真正存在，這也是促使愛因斯坦研究布朗運動的動力。
布朗運動和分子熱物理
[2]
假設布朗運動是因液體分子與懸浮顆粒的碰撞造成的，那麼，懸浮顆粒的隨機運動便可直接反映液體或氣體分子的運動。
分子的尺寸太小，不可能在當時的實驗條件下被直接觀察到，但尺寸比分子大得多的布朗粒子的運動卻能在顯微鏡下觀察。此外，雖然原子分子論在當時仍然疑雲重重，但科學家們已經為這個假說作了大量的工作，比如在分子動力理論方面，有克勞修斯、麥克斯韋及玻爾茲曼等人剛剛開啟、建立的統計力學；在熱力學及化學領域中阿伏伽德羅常數、波爾茲曼常數等已經被發現和使用；特別是後來發現的有關分子運動的麥克斯韋–玻爾茲曼速度分布，是物理學史上第一個概率統計定律，它解釋了包括壓強和擴散在內的許多基本氣體性質，形成了分子運動論的基礎。
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圖2：一維布朗運動的分布函數隨時間變化
液體內大量的分子不停地作雜亂的運動，不斷地從四面八方撞擊懸浮顆粒，在任一時刻，每個顆粒受到周圍分子碰撞的次數約有10
21
次/秒。如此頻繁的碰撞，造成了布朗粒子的無規運動，這種大量質點的運動不太可能靠經典的適用於單粒子體系的牛頓定律所解決，而必須使用統計和概率的方法。現實中的布朗運動是發生在3維空間的，但作為數學模型，不妨研究最簡單的1維情形。
圖2所示便是1維布朗微粒的位置X隨時間變化而形成的軌跡。假設在初始時間t=0時，所有的小顆粒都集中在x=0的點，然後由於液體分子的碰撞，顆粒便隨機地向x的正負方向移動，其圖景類似於一滴墨汁滴入水中後的擴散現象。
如果你把視線集中在某一顆粒子上，就可以看到這個顆粒的運動方向在不斷改變，不斷地作雜亂無規的跳躍。但作為整體來看，有些顆粒向上運動，有些顆粒向下運動，由於對稱性的原因，向正負兩個方向運動的概率是相等的，因此所有顆粒的正負位移相抵消，平均值仍然為零。
然而，平均位移為零不等於靜止不動，對每個粒子而言，它們一直都在不停地運動，並且隨著時間增大，運動軌跡的「包絡」離0點越來越遠，整體看起來越來越發散。那麼，如何描述這種集體的擴散運動呢？位移的平均值為零是因為正負效應相抵消，如果將位移求平方之後再求平均，便不會互相抵消，可以用以衡量顆粒運動的集體行為，這便是愛因斯坦當年用以研究布朗運動的「均方位移」。事實上，均方位移不僅可以描述布朗粒子的集體行為，也可以描述單個微粒長時間隨機運動的統計效應。
愛因斯坦依據分子運動論的原理導出了均方位移與時間平方根的正比關係
（見圖2中右圖中的公式）
，其中的比例常數D被稱為擴散係數，表明作布朗運動的微粒擴散的速率。愛因斯坦的理論圓滿地回答了布朗運動的本質問題（即無規則碰撞）
，還得出了分子運動論中重要的愛因斯坦-斯莫盧霍夫斯基關係（第二個名字來自於另一位獨立研究布朗運動的波蘭物理學家Smoluchowski）
，該公式將通過布朗運動宏觀可測的擴散係數D與分子運動的微觀參數聯繫起來：D = μPkBT
其中
μ
P是粒子的遷移率，k
B是玻爾茲曼常數，T是絕對溫度。擴散係數可以更進一步與阿伏伽德羅常數聯繫起來：
D = RT/(6πηN
A
r)R是氣體常數，T為溫度，η是介質粘度，
N
A
是阿伏伽德羅常數，r是布朗粒子的半徑。之後，法國物理學家讓·佩蘭（Jean Perrin，1870 - 1942）
於1908年用實驗測試了阿伏伽德羅常數，在證實了愛因斯坦理論的同時，也驗證了分子和原子真實存在，為分子的真實存在提供了一個直觀的、令人信服的證據，佩蘭也因此獲得了1926年諾貝爾物理學獎。
維納過程與無規行走
愛因斯坦突破性地將概率統計的數學觀念用以研究布朗運動，其目的是為了探索布朗運動中隱藏著的、深奧的物理學本質。而為布朗運動建立嚴格數學模型的則是著名的控制論創立者，美國應用數學家諾伯特·維納
（Norbert Wiener，1894 - 1964）
。因此，布朗運動在數學上被稱為維納過程。維納是生於美國的猶太人，從青少年時代開始便是一個引人注目的科學明星。他18歲獲得哈佛大學的博士學位，之後又在歐洲得到數位名師的指導，其中包括數學家哈代、哲學家兼數學家羅素、數學家希爾伯特等。隨後，維納又被哈佛返聘回到美國。
二戰時期槍炮控制方面工作引發了維納進行通訊理論和反饋的研究，加之他從小對生物學的興趣，造就了這位資訊理論先驅及控制論之父。他的著作《 控制論：或關於在動物和機器中控制和通信的科學》一書，促成了控制論的誕生。
維納在MIT工作時仔細深入地從數學上分析研究了理想化的布朗運動，即維納過程。他發現在電子線路中電流的一種類似布朗運動的不規則「散粒效應」，這個問題在維納的時代尚未成為電子線路的障礙，但20年後卻成為電氣工程師一個必不可少的工具，因為當電流被放大到某一倍數時，就顯示出明顯的散粒隨機雜訊，有了維納過程的數學模型，工程師們才能找到適當的辦法來避免它。
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圖3：維納和布朗運動
通信和控制系統所接收的信息帶有某種隨機的性質，維納的控制論也是建立在統計理論的基礎上。從原點出發的維納過程W(t)
（W(0)=0）
有如下幾點性質（圖3b）
：W(t)是無規行走的極限過程
維納過程是上一篇酒鬼漫步中介紹的無規行走
（隨機遊走）
的極限過程。通俗地說，無規行走是按照空間格點一格一格的走，假設格點間距離為d，而維納過程則是d趨於0時無規行走過程的極限。W(t)是齊次的獨立增量過程
隨機變數的增量分布只與時間差有關，而與時間間隔的起始點s無關，此謂「齊次」；任一時間區間上的概率分布獨立於其它時間區間上的概率分布，此謂「獨立」。
W(t)是馬爾可夫過程
該過程未來狀態只依賴於當前的隨機變數值W(t)。
W(t)是「鞅」過程（martingale）
已知本次和過去的所有觀測值，則下一次觀測值的條件期望等於本次觀測值。或者說：當前的狀態是未來的最佳估計。
W(t)關於時間 t
處處連續，處處不可微分。這個結論看起來與圖3中所畫的不一樣，但是理論上格點距離d應該趨近於0。
W(t)的常返性
W(t)與隨機漫步一樣，一維和二維的維納過程是常返的，也就是說幾乎一定會回到起始的原點。當維度高於或等於三維時，維納過程不再是常返的。如同上一篇中介紹的數學家角谷靜夫的總結：「醉鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥則可能永遠也回不了家。」
W(t)是一種分形
與格點距離d有限的隨機漫步不同的是，維納過程的圖案擁有尺度不變性，即具有分形特徵。分形是一種自相似結構，無論放大或縮小，在所有尺度下都顯得相似，都具有精細的結構。儘管數學上的分形是理想的極限情形，但自然界中許多事物卻可以用此模型來近似地描述，常見的例子有海岸線、雪花、花菜、樹枝結構等等。
從花粉的啟示，到愛因斯坦的深研，布朗運動所開啟的篇章已經應用於各處。下一篇，我們將介紹在統計物理和資訊理論中都起著重要作用的一個特殊角色：熵。
參考資料：
【1】https://scholar.google.com/citations?user=qc6CJjYAAAAJ
【2】郝柏林. 布朗運動理論一百年[J]. 物理, 2011, 40(01): 0.
製版編輯： 呂浩然
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