24.集體備課六：集合

四、學習困難及成因

集合是高中數學的「第一課」，是高中數學中最基礎、最重要的概念。由於集合概念抽象、子概念多、符號術語多等特點，所以學生在初學集合時，常常感到難以適應，存在不少學習困難。

教學中發現高中生在集合的概念、集合的基本關係、集合的基本運算及集合的概念理解困難；點集的表示困難；五種常見數集識別困難。在集合的基本關係學習上存在四種學習困難：集合的關係符號運用困難；建構（真）子集、集合關係、集合運算三者之間的知識結構困難；計算給定集合的（真）子集個數困難;空集的概念和性質理解困難。在集合的基本運算學習上存在三種學習困難：並集的理解困難；補集的理解困難；複雜的交集、並集、補集的混合運算困難。在集合語言的簡單應用上存在三種學習困難：集合語言的書寫表達困難；集合語言的轉換困難；集合語言的構造困難。影響學生理解集合的主要障礙有：

（1）由數學本身的抽象性所造成的理解障礙。數學是抽象的，數學家讓研究對象從實在的狀態中擺脫出來變成了抽象的概念和符號之後，在研究領域內依靠邏輯的力量向前推演，把認識從一個較低的起點一步一步地引向遙遠的推論，這些推論一般都大大超越了人們日常生活中的經驗、常識和現象，對無窮和統一性的關注使其最終結果與現實中直觀和具體的形象幾乎完全疏離，讓學習者日漸迷失在數學符號語言大霧之中，這是由數學的抽象性造成的理解障礙。這種理解障礙的形成，主要是因為經過系列的數學推理之後，獲得的大都是使用數學符號語言進行敘述的一般性結論，這在集合語言的知識中也得到很好的印證。

（2）由於對之前所學數學知識掌握不牢而造成的理解障礙。由建構主義理論我們知道，在學習新知識時，學習者原有的知識經驗和認知水平非常重要。學生的認知條件中心必須具有能夠同化新知識的適當的認知結構，必須具有積極主動地將符號所代表的新知識與認知結構中的適當知識加以聯繫的傾向性，並且使這種具有潛在意義的新知識與認知結構中的有關知識發生相互作用，使認知結構中的舊知識得到改善，使新知識獲得實際意義。所以如果學習者原有的認知結構中沒有同化新知識的相關知識，不能發生相互作用，也會很容易形成理解障礙。

（3）由於缺乏數學直覺而造成的理解障礙。什麼是數學直覺，沒有明確的定義可言，大體上是指對數學對象中出隱含的整體性、次序性、和諧性的領悟，能夠越過邏輯推理而做出種種預見的能力。大數學家龐卡萊指出：「邏輯用於證明，直覺用於發明」，「沒有直覺，就像按語法寫詩，語法都對，卻沒有思想」，這都說明了數學直覺的作用。

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