Pity Timer對爐石橙卡和紫卡爆率的影響

作者：Watercheng

本文主要討論Pity Time對橙卡和紫卡爆率的影響

封面體現了作者有多窮。本來在上個月大家討論「爐石傳說各版本究竟開多少包能全卡？」時就想寫這篇文章來著，後來由於作者太懶諸多事情耽擱，時隔近一個月才把這篇文章寫出來。這是作者第一次在營地發文章，求各位大佬噴的時候輕一點兒，照顧一下萌新。

置頂的結論

現在很多人公認爐石傳說在開包的過程中有Pity Timer存在。具體來說：如果一個人連開39包都沒有開出橙卡，那麼接下來的第40包中必然能開出橙卡；如果一個人連開9包都沒有開出紫卡，那麼接下來的第10包中必然能開出紫卡。本文主要研究並討論Pity Time對橙卡和紫卡爆率的影響。

可能很多讀者並不關心模型和理論的推導，因此我們將本文所得的直觀易懂的結論總結在最前面，方便讀者看完就走，提高本文的可讀性。

1. 假設單張卡是普通、稀有、史詩、傳說的原有概率是[0.72,0.23,0.04,0.01]，那麼由於Pity Timer的存在，橙卡和紫卡的實際平均爆率將會上升，橙卡的爆率將會相對提升約15%，紫卡的爆率將會相對提升約13%-14%。（橙卡的平均出現頻率上升至約0.0115，紫卡的平均出現頻率上升至約0.045。）這個相對提升率是很顯著且不可忽略的。而我們通過大量數據測試得到的爆率是經過Pity Timer調整後的值，所以原本橙卡和紫卡設定的概率應分別小於0.01和0.04。

2. 若想使得經過Pity Timer影響以後的白、藍、紫、橙的實際爆率為[0.72,0.23,0.04,0.01]，那麼橙卡和紫卡的原有出現概率應分別為0.008和0.033，要小於我們通常說的平均20包1橙和平均5包1紫。假如說一名玩家已經開過該類卡包的前10包卡包了，且目前沒有「已經連續20包沒出橙」的基礎，那麼他/她接下來20包平均只能開出約0.8張橙卡，而不是1張橙卡。（類似的，若沒有「已經連續5包沒出紫」的基礎，那麼接下來5包平均只能開出約0.825張紫卡，而不是1張紫卡。）這個結果一定程度的解釋了為什麼作者玩家有時候在開卡包時感覺平均20包並沒有得到1橙，因為在沒有達到Pity Timer的響應之前，平均20包確實不到1橙，這明顯要比我們心目中的期望值低。

下面兩張圖分別展示了在模型一（後文會在模型一節中講解模型一）下Pity Timer對橙卡和紫卡爆率的提升值。其中橫坐標為原有概率p，縱坐標為實際爆率r相比原有概率p提升絕對量r-p。綠色虛線標註了若p為實際概率，則Pity Timer會使爆率提升的值。紅色虛線標註了原有概率p應取多少才能使經Pity Timer調整後的爆率r為實際爆率。

例如看橙卡的那張圖：綠線表明，如果原有單張概率p=0.01，那麼Pity Timer會使橙卡的實際出現頻率提升約0.0015；紅線表明，如果原有概率設為p=0.008左右，那麼經過Pity Timer的調整後，它提升了約0.002，會使得實際出現頻率達到為0.01。

至於這些結論是基於什麼樣的假設、什麼樣的模型、通過怎樣的計算和推導得到的，感興趣的讀者可以繼續往下閱讀。

如果讀者用的實際爆率並不是[0.72,0.23,0.04,0.01]而有一些偏差的話，又想得知相應的數據會得到怎樣的數值結果，也可以閱讀下面內容並忽略推導過程直接找到解法。

由於好像沒有很好的在文中輸入公式的方法，文章中所有的公式都是以圖片形式插入的，因此我們盡量將所有的公式排在該段段尾。

前言

很早之前就有人指出，如果沒有Pity Timer存在的話，那麼連續40包開不出橙卡並不是一個極小概率的事件（概率估算應該大於10%），而事實上似乎並沒有發現這樣的現象，從而幾乎不可能是各卡包完全獨立而沒有類似Pity Timer的計數器的[1]。也有人指出Pity Timer機制似乎並不只針對橙卡，紫卡也有連續10包必出的保障[2]。有人通過統計來推測Pity Timer的數值，結果是橙卡值為40，紫卡值為10。[3]雖然有人指出他連續15包沒有開出過紫卡[4]，但現在有Pity Timer存在的說法還是比較普遍且受人接受的，例如上個月飄渺丨天狼在營地上發布的「爐石傳說各版本究竟開多少包能全卡？」就指出客觀應有Pity Timer，無法加入Pity Timer是該模型的缺陷之一，並且也側面體現出本文的研究結果並不是一句廢話Pity Timer對爆率的影響並不是肉眼能看出來的[5]。

本文並不討論Pity Timer是否真的存在以及其對應的具體數值，而是假設Pity Timer真的存在，去計算它對橙卡和紫卡爆率的具體影響。得到Pity Timer的具體影響後，我們可以反解出原有的爆率，並更貼近實際的模擬開包效果。並且其結果也具有一定的理論價值，我們可以利用此結果來考察Pity Timer對開包結果（通過某種換算將開包結果以數值體現）方差的影響。本文的研究內容並不是百無一用。

假設

這裡會逐條列出本文研究所基於的假設，並給出該假設強詞奪理合理的理由。

1. 這裡只考慮Pity Timer的影響，不考慮前10包必出橙的設定。（一方面，我們並不知道它是如何實現的，是假如前10包內有橙就不做調整無橙就隨機添加一張橙卡，還是只是將後面的一張橙卡前移。另一方面即，使考慮進去，也只是變成了一個Delayed Renewal Process，而我們考慮的是長期運行的平均值。就算前10包給100張橙卡（雖然好像最多50張），也絲毫不影響t趨向於無窮的平均值。）

2. 假設Pity Timer是這樣實現的：如果連續n包沒有出指定稀有度的卡牌，則在開第n包前，向其中添加一張指定稀有度的卡牌。（雖然這個假設可能會有微小的影響，因為實際上它並沒有添加卡牌，只是將一張卡牌更改為指定稀有度的卡牌，我們並不知道它是否是將一張普通卡牌進行升級，或者只更改稀有度最低的卡牌。但即使是這樣：如果連續39包無橙卡，而第40包是5張紫卡（這個概率極小）；或者連續10包無紫卡，而第40包是5張橙卡（作者在做夢）。都會另一方面的導致橙卡或紫卡數量的降低。如果考慮這個因素，又會使問題變複雜。其實作者水平有限這裡我們並不畏懼複雜，只是我們不知道它到底是怎樣實現的，而且注意到假如它是替換稀有度最低的卡牌，那麼它多數情況下只是替換了一張普通卡牌，極少數情況會替換一張稀有卡牌，而影響史詩或傳說卡牌數量的情況的概率異常的低，可忽略不計。因此筆者判定，這個假設對結果的影響極小。）

雖然有Pity Timer會導致各個卡包之間並不獨立，但每次開出橙卡以後，從下一個卡包開始，又完全跟剛開使時一樣了。因此可以將整個過程視為一個更新過程（Renewal Process）。從而我們有強大數定律保證的Long-Run Renewal Rate （後文我們簡記E[R_1]和E[X_1]為E[R]和E[X]，其中E[R]為一個周期的期望收益，E[X]為一個周期的期望長度。）:

模型

本來在作者的三觀中只有一種模型（下面的模型一），但在閱讀過燃玉的代碼之後，作者意識到，還存在另一種模型（下面的模型二）。（燃玉是「冰封王座與狂野系列，你需要開多少包？」的作者[6]，他在回復飄渺丨天狼的「爐石傳說各版本究竟開多少包能全卡？」時以圖片形式貼出了他的代碼[5]。）

我們知道每個卡包中都有一張卡比較特殊，它的稀有度只能是稀有或更高，我們稱之為特殊卡，其餘4張我們稱之為一般卡。兩種模型在處理這兩種卡時並不相同。下面分別介紹兩種模型的並以數值例子說明它們的不同。

模型一：特殊卡與一般卡為史詩或傳說的概率相等，只不過特殊卡為稀有的概率是一般卡為普通和稀有的概率之和。特殊卡相當於一張一般卡，如果它是普通，則調為稀有。

模型二：特殊卡與一般卡為史詩或傳說的概率不相等，它是稀有、史詩、傳說的概率比與一般卡是稀有、史詩、傳說的概率比相同。特殊卡的稀有度分布相當於一張一般卡在給定「不是普通」條件下的分布。（燃玉代碼中使用的）

例如：普通、稀有、史詩、傳說的綜合概率分布為[0.72,0.23,0.04,0.01]。在模型一中，一般卡的概率分布為[0.9,0.05,0.04,0.01]，特殊卡的概率分布為[0,0.95,0.04,0.01]。在模型二中，一般卡的概率分布為[0.9,0.082143,0.014286,0.003571]，特殊卡的概率分布為[0,0.821429,0.142857,0.035714]。如下表所示。

Pity Timer影響的理論計算

這裡先對接下來分析中所用的參數做一下說明，然後說明我們的計算過程，最後直接將理論推導過程及結果的公式以圖片的形式貼在後面。

在模型一中單張卡為指定稀有度的卡的概率為p，在模型二中單張非一般卡為指定稀有度的卡的概率為p1，單張一般卡為指定稀有度的卡的概率為p2。

Pity Timer保證在n包卡包尚未出現指定稀有度的卡牌時添加一張該稀有度的卡牌。（實際中考察橙卡時n=40，考察紫卡時n=10。）

記一包中有m張卡牌（在此情境下m恆為5），

並記q為一包中正常開出指定稀有度卡牌的概率。（q是一個中間變數，我們會把它求出來）

對於兩個模型，我們分別計算E[X]和E[R]（在假設最後面提到的，其中E[R]為一個周期的期望收益，E[X]為一個周期的期望長度），而後求出相應的爆率及相對提升值。

計算結果如下圖所示，不屑於看推導過程的可以直接看兩個模型對應的最後的結果。

反解原有的概率

事實上，我們測到的是上圖中展示的計算得到的實際爆率，而不是前面設定的p或者p1與p2的加權和。因為大數據測到的是已經經過Pity Timer調整後的數據了。

所以這裡我們希望通過觀測到的實際爆率，反解出原有的概率p。由於需要說明的內容比較複雜，需要在文字間加入過多公式（或者是在公式間加入過多說明的文字），因此作者偷懶耍滑權衡利弊將整體參數設定、分析、推到結果等直接以圖片形式加在下面。

數值結果

光有公式沒有數值，作者怕沒人看這篇文章了。因此作者將實際數據代入模型，分別計算：

1. 若原有概率為測到的爆率，則加入Pity Timer對爆率的影響（相對提升值）。結果可以與飄渺丨天狼最後兩段的結果做比較。

2. 現在已知實際爆率，我們求出原有概率應該設定為什麼值，經過Pity Timer的影響以後的爆率恰為我們測到的實際爆率。

下面這段摘自飄渺丨天狼的「爐石傳說各版本究竟開多少包能全卡？」[5]。

本次模擬仍然存在些許缺陷，無法加入pitytimer（連續39包不出傳說，第40包必出；連續9包不出史詩，第10包必出）。無法加入的原因是，如果加入pitytimer，會對原來開包產生的隨機概率產生干擾，導致實際開包出橙率有18%上調，出史詩的概率有10%的上調。導致模擬結果與實際開包結果不符。故不加入。（PS，考慮可能是爐石實際出傳說概率小於20包1橙，這樣才能使得觸發pitytimer之後的出橙率總計達到20包1橙卡）。

這裡針對兩組爆率做數值試驗。一組是燃玉用的p=[0.715,0.23,0.044,0.011]，記為數據1；另一組是通常說的平均20包一橙5包一紫對應的p=[0.72,0.23,0.04,0.01]，記為數據2。

先看一下原有概率為測到的爆率時，加入Pity Timer對爆率的影響（相對提升值）。

可以看到數據的影響比模型的影響更大一些。橙卡的爆率相對提升值約為11%-12%和15%，紫卡的爆率相對提升值約為10%和13%。相比飄渺丨天狼給出的18%和10%相差並不太遠。這裡猜測飄渺丨天狼是通過模擬的方法得到的數據，結果應該沒有我們理論求解得到的精確可靠。

下圖為結果表。

再看一下為了使得加入Pity Timer後得到實際爆率，那麼原有概率p或s應該取什麼值。

可以看到仍然是數據的影響比模型的影響更大一些（這裡更好理解，因為爆率一變原有概率肯定跟著變，但上面的相對變化率卻不是這樣）。如果為了得到數據一的結果，那麼原本設定的單張橙卡和紫卡的概率應分別約為0.0093和0.038。如果為了得到數據二的結果，那麼原本設定的單張橙卡和紫卡的概率應分別約為0.008和0.033。確實如飄渺丨天狼所說：

爐石實際出傳說概率小於20包1橙，這樣才能使得觸發pitytimer之後的出橙率總計達到20包1橙卡。

如果讀者有不同的爆率，那麼可以代到上面的公式中自行求解。

下圖為結果表。

總結

本文考察了Pity Timer對橙卡和紫卡爆率的影響，得到了較好的解析結果，並給出了通過實際爆率反解出原有概率的方法。最後本文給出了兩套爆率的數值結果，可供讀者參考。如果讀者想用不同的爆率值，那麼可以用上面給出的求解方法，代入到方程中進行求解。

最後感謝讀者竟然讀完了這篇這麼冗長而又無聊的文章。

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