第315期 多幾分

靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 315

多幾分

某次數學競賽中，原定一等獎10人，二等獎20人，現將一等獎中最後的四人調入二等獎，這樣二等獎的學生的平均分提高了1分，得一等獎的學生的平均分提高了4分。求原來一等獎比二等獎平均分多幾分？

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上期問題回顧

NO. 314

方格填數

將1~16放入4×4的方格表內，每個小方格能且只能填入一個數字，不能重複，要求任一行、任一列的數字和均為奇數，則所有滿足要求的填法一共有多少種？

分析與解答

1、從奇偶性考慮：

有2行各有3個奇數，有2行各有1個奇數，有2列各有3個奇數，有2列各有1個奇數。

考慮哪2行有3個奇數，剩下2行各有1個奇數，有種。

（例如：第1、2行有3個奇數，和3、4行有1個奇數）

對於有3個奇數的兩行，必有2列各有2個奇數，有2列各有1個奇。

考慮哪兩列有2個奇數，剩下兩列各有1個奇數，有種。

（例如：第1、2行在第1、2列各有2個奇數；第1行在第3列有1個奇數，則第2行在第4列有1個奇數）

剩下兩行各有1個奇數，只能選在已經有2個奇數的兩列，且各有1個，有2種。

（例如：第3行的1個奇數在第1列，第4行的1個奇數在第2列）

故只考慮奇偶性有6×12×2=144種。

2、如圖所示為一種奇偶性的排列方法。

對於每一種確定的奇偶的排列方法，奇數、偶數各有種填法。

題友解答精選

題友@∞偏∞愛∞的解答：

首先把奇數偶數分為兩組，由於求和只與奇偶性有關，因此首先對每一組數字進行全排列，得(8!)^2，下面只考慮每個方格所填數字的奇偶性。 欲滿足題設要求，首先考慮每一行奇數的個數，易知有兩行各有三個奇數(稱為a行)，另兩行各有一個奇數(稱為b行)。 欲滿足對列的要求，易知a行中的六個奇數不可能處於同三列。而b行中的奇數，分別處於a行的四列中，有兩個奇數的所在列。 再考慮a行中奇數所處位置的排列，共4×3＝12種。再考慮對整個4×4方格的行的排列，共6×2＝12種(6為a行位置的排列數，2為固定a行後，b行位置的排列數)。因此排列數共有144種。由於奇偶性兩組在位置上的整體互換情況包括在所討論的144種情況中，因此不需再乘2。 因此共有144×(8!)^2種。

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