第319期 猜數遊戲

靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 319

猜數遊戲

C 帶領 A 和 B 玩一個遊戲，規則如下，C 隨機產生兩個不同的形如的數（m,n 均為正整數），並將這兩個數分別告訴 A 和 B，讓 A 和 B 推測誰手上的數更大。

A：我不知道。

B：我也不知道。

A：我還是不知道。

B：我也還是不知道。

C：這樣下去是沒用的，無論你們說多少輪，都不可能知道誰的數更大。

A：哦…不過就算知道這一點，我還是不知道誰的數大。

B：我也不知道。

A：我好像知道誰的數比較大了。

B：我現在知道 A 的數是多少了。

A：我也知道 B 的數是多少了。

那麼請問 A 手中的數是多少？

★ 右下角寫留言開始答題，鼓勵大家把思考的過程寫出來。

★ 如果想不出來，可以轉發朋友圈向朋友求助哦！答案將在下期公布。

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上期問題回顧

NO. 318

求ab

一般我們用 GCD(a,b) 表示 a,b 的最大公約數，用 LCM(a,b) 表示 a,b 的最小公倍數。求滿足以下條件的正整數 a,b 有多少組，分別是多少？

a×b=300+7×LCM(a,b)+5×GCD(a,b)

分析與解答

答案：a,b 的所有可能取值有 (a,b)=(12,72),(72,12),(24,36),(36,12)，共4組。

方法一：

方法一要用到最大公約數和最小公倍數的一個公式：ab=GCD(a,b)×LCM(a,b)。

設 GCD(a,b)=x，LCM(a,b)=y，則 ab=xy，於是有：xy=300+7y+5x

變形為：(x-7)(y-5)=335=5×67

由於 y>x，5、67都是質數，所以 x-7=5，y-7=67。

所以 x=12，y=72。

故 a=12p，b=12q，（p,q>0，p,q 為整數且互質），LCM(a,b)=12pq=72，pq=6。

方法二：

方法二通過整除的討論得到，比方法一稍微麻煩一點。

若 GCD(a,b)=1，則 LCM(a,b)=ab，於是

ab=300+7ab+5，即 6ab=-305，不符合要求。

現設 GCD(a,b)=n，a=pn，b=qn，其中 n≠1，p>0，q>0，p，q為整數且互質。

則 LCM(a,b)=pqn，於是有：

pqn2=300+7pqn+5n

可得 pq=5(60+n)/n(n-7)。

由於 p，q 都為整數，所以 n(n-7) | 5(60+n)。

易知 n(n-7) 必為偶數，所以 60+n 為偶數，所以 n 為偶數，且 n>7。

由 n(n-7) | 5(60+n) 可知 n | 5(60+n) ，即 n | 300+5n，從而 n | 300。

故 n 可能的取值為 10，12，20，30，50，60，100，150，300。

經檢驗可知，只有 n=12 滿足 n(n-7) | 5(60+n)，此時 pq=6。

題友解答精選

題友@進的解答：

滿足條件的最大公約數、最小公倍數只一組，最大公約數為12，最小公倍數為72。a與b共四組，（12，72）（72，12）（24，36）（36，24）。此題的解題關健是ab=（a，b）[a，b]。把最小公倍數設為x，最大公約數設為y，則（x-5）（y-7）=300十35=67x5，而x-5>y-7，則x=72，y=12。12x6=72。6=1x6=2x3。

題友@葉落秋霜的解答：

設GCD（a,b）=x，LCM（a，b）=y。ab=xy。y是x的整數倍。由題知，（x-7）（y-5）=335。解得x=8,y=340（舍）或x=12,y=72或x=74,y=10（舍）或x=342,y=6（舍）。 故x=12,y=72。 所以a=12,b=72或a=24，b=36或a=36,b=24或a=72,b=12。

題友@牛魔王的解答：

令a和b的最小公倍數為m，最大公約數為n，且m＞n。 又a×b＝m×n，進而對題目等式變形得： （m-5）×（n-7）＝335＝5×67 因m＞n，所以m＝72，n＝12 根據求最大公約數公式得，a和b分別除以n得餘數的乘積為72÷12＝6 又6可以分解為1×6 2×3兩種。所以a和b兩組（12 72）（24 36）。由於a b可以互換，再有對稱兩組。 總共有四組！

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