自製「最牛」素數幻方

最新 09-30

最近網上流傳一個據說是某個無聊的犯人在牢房裡搞出來的13x13的數字方陣，號稱是史上最牛幻方，就是下面這個：

這個方陣里有169個不相同的數，每行、每列以及兩個對角線的數字之和都相等，這不算什麼，但神奇的是，如果我們去掉周圍一圈方格，會得到一個11階的小方陣，它居然也是一個幻方。不斷去掉外圈，分別得到的9，7，5，3階方陣都是幻方，而且每一級幻方的每行數字之和都比小一圈的幻方的每行數字之和大10874。更奇的是，方陣里所有的數都是素數。

這個方陣看起來很強大，不過細細品味後，就會發現它其實沒有看起來那麼牛，做起來並不是很難，說不定咱還能做得更好呢。說干就干，下面就讓我們來山寨一個同樣的幻方吧，而且，咱要做一個15階的，比原版更牛。

第一步當然是學習，我們需要尋找原方陣的規律，不然都不知道怎麼開始。

前面說過，從中央的三階方陣起，每一級擴大，每行（列）和對角線的和都增加固定的10874，其實就是每行（列）增加了兩個素數而已。所以這個方陣的擴大過程實際上就是不斷把和為10874的不同素數對填到對稱的格子里。這就有門了：要先確定一個偶數，然後找出所有和值等於它的素數對。

對於不太大的偶數，找出所有滿足條件的素數還是比較容易的，尤其是在計算機的幫助下。比如很容易算出10874這個數共可表示為107對素數之和（5437自己和自己組成一對），這比13x13的方陣需要的85對素數多，但比15x15的方陣需要的113對少，因此我們的新方陣不可能在原來方陣的基礎上擴大了。

要做一個15階的素數方陣，我們需要找到至少可表示為113對素數之和的偶數，這可以通過編一個小程序來搜索，具體的程序就不介紹了。最小的滿足條件的偶數是9946，它正好可以表示為113對素數之和，共225個素數，就是下面這些。好了，就用它們來試試吧。

然後就要先做中央的三階方陣，這可以在最簡單的三階幻方的基礎上來構造。

如何把這個簡單方陣中的數都變成我們的素數呢？有兩種簡單的變換可以改變幻方中的數。一是把幻方中的每一個元素都乘上同一個數，這樣得到的仍然是一個幻方。第二種變換是：把幻方中的1，2，3作為一組，4，5，6作為一組，7，8，9作為一組，當我們給某個組的3個數都加上同一個數時，方陣的行列和仍然相等（只是對角線只能改變一條），而且三個組可以分別加上不同的數。利用這兩種變換，並注意兼顧兩條對角線，我們就有機會把1～9都變成我們準備好的素數。

在這兩種變換中，同一組裡的三個數始終保持等差關係，公差就是第一種變換中乘上的數。這提示我們需要找到三組素數，它們都是等差數列，並且公差相同。

顯然，最中間必須是4973，而4和6就用最接近4973的兩個數4943和5003來替換就可以了，這樣公差就是30。