計算機視覺基礎2——相機成像的幾何描述

限時乾貨下載：回復「資料」獲取獲取機器視覺教程，行業報告等資源，百度盤群組分享鏈接更新時間：2017-09-02，失效請在文末留言，不要在後台留言，你也可以在後台菜單「資源搜索」搜索更多你想要的網盤資源！

試想像一下，很多遊客同時在不同角度拍攝Eiffel Tower(埃菲爾鐵塔)，該如何用數學的方法來描述這一過程呢？首先要解決的問題就是定位，或者說坐標選定的問題，埃菲爾鐵塔只有一座，如果按經、緯度來刻畫，它的坐標是唯一確定的，但遊客顯然不關係這一點，他(她)只按自己的喜好選擇角度和位置，因此，物體(景物)有物體的坐標系統，相機有相機的坐標系統，即便同一個相機，當調整參數時，在同樣的位置、相同的角度，也可能得到不同的圖像。為了統一描述，有必要引入世界坐標(或物體坐標)、相機坐標和像平面坐標。

世界坐標用UVW記。

相機坐標用XYZ記。中學物理告訴我們，物體與像是倒的關係，但作為數學分析，我們採用虛像。像平面用xoy記。

而數字圖像用(u,v)來表示，不弄混淆像平面和數字圖像這兩個概念，同一個像通過平移、拉伸等，可以得到不同的數學圖像(u,v)。

總體來看，就是

我們需要用數學的語言來描述這一過程。先看中間部分。

紅框標註的部分是3D物體到2D像平面的透視投影(如果不明白透視投影的概念，需要補一下高等幾何)

顯然，OP上的任一點的像都是p(x,y)，為了描述這一關係，需要引入齊次坐標。

By convention, we specify that given (x』,y』,z』) we can recover the 2D point (x,y) as

x=frac

x=frac

y=frac

y=frac

Note: (x,y) = (x,y,1) = (2x, 2y, 2) = (k x, ky, k)

關於齊次坐標，更詳細的介紹可參考高等幾何。

上述透視投影的過程可以描述為

正如開頭所言，不同遊客會選擇不同的位置和角度拍攝同一物體，因此，物體對於相機的關係各不相同，這就是物體到相機坐標變換的問題。

上述紅框部分描述的是從物體的坐標(稱為世界坐標)到相機坐標變換的過程，它是一種剛體運動，可以用平移、旋轉來描述。

上圖表示的是從世界坐標變換到相機坐標：

Pc=R(Pw?C)，寫成矩陣形式

平移是容易理解的，我們先討論更簡單的情形，即假設世界坐標系和相機坐標系的原點重合，則變換隻剩下旋轉了。

旋轉矩陣的元素也很容易確定。試想(U,V,W)=(1,0,0)，而它在相機坐標系中的坐標是(X,Y,Z)=(a,b,c)(同一物理點的不同坐標)則有：

因此有：

由於該旋轉是剛體運動，因此它是正交變換，滿足

R?1=RT，所以有：

不難得出：

看一個例子：

由於物體的坐標到相機坐標的變換，相對於相機內部參數而言屬於外部參數(External Parameters)，往往寫作R和T，即

總結

本小節講述了如何將3D世界坐標系中的點變換到相機坐標系中，然後經透視投影，變成2D像平面上的點(x,y).

來源：http://www.cnblogs.com/gemstone/archive/2011/12/19/2293932.html

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