計算機視覺基礎5——本質矩陣與基本矩陣

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回顧本質矩陣的定義

本質矩陣的基本性質：

結合成像的幾何關係

Longuet-Higgins equation

注意大小寫的區別哦，大小表示物點矢量，小與表示像點矢量。

像平面上的一點可以看作：

? (u,v) 2D film point(局限於像平面上來考慮)

? (u,v,f) 3D point on film plane(相機坐標系中來考慮)

? k(u,v,f) viewing ray into the scene(透過像點和原點射線上點的像，相機坐標系中來考慮)

? k(X, Y, Z) ray through point P in the scene(在世界坐標系中來考慮)

設

l為像平面上的一直線：

au+bv+c=

由點線結合關係可得：

因此有

這樣就可以用幾何的觀點來解釋上述方程：左像平面上的一點

pl乘以本質矩陣

E，結果為一條直線，該直線就是

pl的極線，且過

pl在右像平面上的對應點

pr。這個結論十分喜人。

同理有

? Remember: epipoles belong to the epipolar lines

? And they belong to all the epipolar lines

關於本質矩陣的關係總結如下：

本質矩陣採用的是相機的外部參數，也就是說採用相機坐標(The essential matrix uses CAMERA coordinates)，如果要分析數字圖像，則要考慮坐標(u,v)，此時需要用到內部參數(To use image coordinates we must consider the INTRINSIC camera parameters)

從像素級來考慮，有如下關係

short version: The same equation works in pixel coordinates too!

矩陣

F稱為基本矩陣:

F=Mr?TRSMl?1

? has rank 2

? depends on the INTRINSIC and EXTRINSIC Parameters (f, etc ; R & T)

Analogous to essential matrix. The fundamental matrix also tells how pixels (points) in each image are related to epipolar lines in the other image.

例子：

由

F?el=，並根據下圖，where is the epipole? vector in the right nullspace of matrix

F，即

F的右零空間。當然

el是非零向量，也就是說

F?el=有非零解，說明矩陣

F不是滿秩的，或者說它是奇異的，However, due to noise,F may not be singular.So instead, next best thing is eigenvector associated with smallest eigenvalue of F。

>> [u,d] = eigs(F』 * F)

u =

-0.0013 0.2586 -0.9660

0.0029 -0.9660 -0.2586

1.0000 0.0032 -0.0005

d = 1.0e8*

-1.0000 0 0

0 -0.0000 0

0 0 -0.0000

eigenvector associated with smallest eigenvalue

>> uu = u(:,3)

uu = ( -0.9660 -0.2586 -0.0005)

>> uu / uu(3) : to get pixel coords

(1861.02 498.21 1.0)

where is the epipole?

相反的問題是：如果已知點的對應關係，如何計算本質矩陣和基本矩陣呢：

來源：http://www.cnblogs.com/gemstone/archive/2011/12/20/2294805.html

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