從酒鬼失足到賭徒破產，悲劇收場為何註定
很多看似不相關的事物背後卻有著千絲萬縷的關係，比如今天故事的主角——酒鬼與賭徒。讓我們從酒鬼在懸崖漫步這個荒誕的故事開始，算算他不幸掉下懸崖身亡的概率，然後在此基礎上再向大家講述酒鬼和賭徒背後那驚人的相通之處。
詭異的酒鬼徘徊
當一個喝大了的酒鬼在路上搖搖晃晃時，你是否會擔心他還有能力避開一切障礙，成功找到家門而不是掉到某個下水溝里嗎？ 實際上，這正是非常有趣的酒鬼漫步問題，不妨讓這個酒鬼的處境更誇張一些，設想他站在懸崖邊，面前就是萬丈深淵。如果他往後退一步遠離懸崖的概率是 2／3 , 向前一步靠近懸崖的概率則是 1／3。那他摔下懸崖的概率是多少?
答案肯定不會是簡單的 1／3。那不如先來看看酒鬼最初的幾步會發生什麼。下圖是對這個酒鬼最初幾步所有可能的軌跡的枚舉。
從圖中可以看到，達到0即意味著跌落懸崖。所以在 0 的那些概率的和便是酒鬼前六步掉下懸崖的概率。這個圖本可繼續下去，但隨著步數的增多，完成它就充滿了乏味的工作。
所以讓我們把這個場景放到數軸上，換一種方式來看。如此一來醉鬼懸崖邊漫步就相當於質點沿軸心運動這類問題了。酒鬼在這個數軸上隨意地左右走動， 走到 x = 0 的位置意味著被吸收 ，也就是摔下了懸崖。
假設他向右一步的概率為 p，向左的概率為 1 － p。當他在 x = n（n>0） 的位置的時候，不是向右就是向左。記 P（n）為從 x = n 的位置出發，最後到達 x =0 被吸收的概率。酒鬼一開始在 x = 1 的位置，我們要求的就是他到 0 的概率。
當酒鬼走完第一步後，他要麼到了 x = 0（此事件發生的概率是 1－p），要麼到了 x = 2 的位置（此事件發生的概率是 p），他再從 x = 2 出發最終走到 x = 0 被吸收的概率就是 P（2）。這時我們可以得到方程
P(1) = 1 - p + p * P(2)
而自 x =2 走出並最終到達 x =0 的情況可以分解為兩個階段：先從 x = 2 到 x = 1（可以走任意步）,然後從 x = 1到 x = 0（同樣可以走任意步）。我們知道後一個的概率是 P（1）,那麼前一個呢？其實是一樣的，也是 P（1），它可以看作後一種情況的平移。又因為這兩個事件相互獨立，所以
P(2) = P(1)2代入上面的方程解得 P(1) = 1 或者 P(1) = (1-p)／p
注意到這裡 p 表示的是酒鬼每次向x軸正方向前進一步的概率，也就是他站在懸崖邊上向後退的概率。我們不妨根據這個概率的取值情況來對酒鬼懸崖漫步這個問題做個總結。
當 p 等於 0 或 1 時，這顯然就成了必然事件，酒鬼一定掉下懸崖或者一定能安全地離開。
但有趣的是，即便當 p 不是 0，在它小於等於 1／2 時，這個酒鬼一樣難逃失足的厄運。
當 p 1當 p = 1／2時，P(1) = 1
眾所周知，一個事件發生的概率不會超過 1。所以從上面可以看出，當 p ≤ 1／2 時，也就是這個酒鬼每步選擇向後退的概率不足一半時，不管他能離開懸崖有多遠，最終都必將粉身碎骨。
而如果 p 在 （1／2 , 1） 這個區間里，這時候酒鬼摔落懸崖的概率實際上是一個關於 p 的連續函數。我們可以做出 P(1) 的圖像如下
現在讓我們再回到最初的問題上。當酒鬼向後走的概率 2/3 時，我們可以很輕鬆地算出，他摔下懸崖的概率是 1／2。
從酒鬼掉下懸崖到賭徒破產
說到這裡，主角之一酒鬼的故事差不多說完了，那他和賭徒有什麼關係呢？
實際上把酒鬼徘徊應用到賭博中會得到一個不可思議的結論。假設一個賭徒的賭金是 n，每次的下注金額是 1，而每盤賭局輸贏概率各是 1／2。如果一直賭下去的話，賭徒輸光的概率是多少呢？
由前面的分析可知，他破產的概率就是前面定義的 P（n）。 P（n）是 P（1） 的 n 次方，而 P（1） 在酒鬼等概率地向兩個方向邁步的時候等於 1,所以 P（n）＝1 ！這告訴我們，即使是公平賭局，你跟賭場玩，最後也一定會輸光的！
這就是著名的賭徒破產問題（Gambler』s ruin）。關於它，死理性派曾經在另一篇文章中有過詳細的討論，不過作者採用的是另一種方法，並且和幾位網友在回復中展開了精彩的辯論。
在那篇文章里，作者指出，去賭場賭錢無異於直接送錢給賭場老闆。正所謂「久賭必輸」，就算是一對一機會均等的賭局，要是一直賭下去的話，也總有一天會輸光。具體分析如下。
顯然，賭徒的錢越多，輸光需要的局數也越多。當賭徒的賭金是 n 時，我們記輸光的概率為 p(n)。因為每次賭局有一半的可能贏，一半的可能輸，贏的時候賭金變成 n + 1，輸的時候變成 n - 1，所以 p(n) = (p(n + 1) + p(n - 1))／2。當 n = 0 的時候，即使不用賭，所有東西也都輸光了，所以 p(0) = 1。
由此，p 可以看作一個滿足下列遞推關係的數列
p(0) = 1p(n+1) = 2 * p(n) - p(n-1)，也就是 p(n+1) - p(n) = p(n) - p(n-1)
容易驗證 p(n) = n * p(1) - (n-1) 正好符合上面的遞推關係。
又因為 p(n) ≥ 0，所以對於任意的 n，必定有 p(1) ≥ 1 - 1／n。因此 p(1) = 1。那麼對於所有的 n，則有 p(n) = 1。這意味著，在無限次的賭博中，賭徒在某一次賭博中輸光的概率是 1。
其實賭徒的賭博軌跡，可以用所謂的馬爾可夫鏈來描述。把賭徒的賭金值視為不同的狀態，而每次賭局則相當於在這些狀態之間轉移，贏錢時轉移到錢多些的狀態，輸錢時轉移到錢少些的狀態。而破產的狀態就像個陷阱，是跳不出的，因為已經沒有賭本了。如果一條馬爾可夫鏈有這樣的「陷阱」狀態，而每一個狀態都有可能到達「陷阱」的話，在不斷的轉移中，總有一天會掉到「陷阱」里去。所謂「久賭必輸」，其實說的就是這麼一個道理。
勝算不過半？那全押了吧
上面已經說過，對於絕大多數賭局，長期來說，你幾乎肯定會輸。不過如果你一定要賭，假如策略對頭，也許可以在領先的時候收手。
在賭場上孤注一擲一貫被認為是不理智的表現，但實際上當賭贏概率不足 1／2 時，孤注一擲才是最佳策略。假設每局賭贏的概率是 p（p
那如果用看似更保險的每局押 100 元的方法呢？根據前面酒鬼斷崖漫步的分析，可以算出這種方法賭贏的概率（下面的表達式可以跳過，不影響閱讀）：
這個式子不算直觀。那讓我們畫出每盤賭贏的概率 p 從 0 增大到 1／2 時，孤注一擲贏的概率 p 和將賭金分開來押贏的概率 F（p） 的圖像，來看看二者的比較吧。
可以看到，更「保險」的做法讓賭徒最終獲勝的機會大大降低，只有在遊戲漸漸變得公平（ p 趨向於 1／2 ）的時候才和孤注一擲這個策略沒有太大區別。當然，雖然數學上的分析是這樣，但孤注一擲還需要超強的膽略。這也說明，賭場可不是什麼容易混的地方，如果你不懂數學，在那裡輸的傾家蕩產，都未必能知道怎麼輸的。所以，想玩轉拉斯維加斯？還是先好好研究研究概率論吧。
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