影響數感發展的那些事

文章較長，主要有三部分內容：

什麼是數感，以及數感的重要性；

我們很多時候是在破壞數感；

培養數感的方法。

普遍認為初等數學的教學有兩個功利性的目標：

為日常生活提供計算工具；

為提升思維水平提供智力訓練。

過去，在我上小學的年代，小學數學叫「算術」，以第一個目標為主要目標。

當時，每年到我家殺豬的時候，就是我大顯數學才能的時機，誰家買了幾斤多少錢，快速算出並記下。現在人人手機里都有計算器，再到這殺豬的場景，估計大家都是按按手機，不會再有人傻到用我小時侯的方法了。

所以，第1個目標似乎正在變得無意義。

於是，新的美國學校數學課程與評估標準（NCTM）強調要將培養學生形成數感作為小學數學教育的主要目標。並明確反對在小學數學教育中過分強調沒有思維的計算程序。中國的新教綱也與時俱進，將數感提到了非常重要的地位。

那到底什麼是數感？它為什麼如此受重視？有人說數感就是對「數」有感覺，有點玄學的味道有沒有。也有人說，數感就是對「數」有洞察力，還是有點玄。

我覺得本質上，數感好的孩子就是在數與數之間建立了很多聯繫，因為有了這種聯繫，在不同的問題中就有了各種「靈活性」和「創造性」。

比如：當孩子看到98時，不僅知道它是「90+8」，也是「100-2」，還是49的2倍。於是，當計算類似「98+76」時，他就不需要使用豎式，直接從76中拿2個給98。心算一下就知道是174了。

於時，當計算類似「98+49+50+52」時，他也不列豎式，而是有腦中完成以下的計算過程：

98+49+50+52

=50 × 5 -2-1+2

=249

所以，培養數感，不是在弱化計算能力，相反它是在增強計算能力。只是，現在計算不再是單一的模式化，而是要求更多的靈活性和創造性。

在美國學校數學課程與評估標準中，數感也正是和計算策略中的「靈活性」與「創造性」一起出現的。因為強調「靈活性」與「創造性」，所以就要求理解力，以及主動思考的積極態度。

而理解力和主動思考的積極態度，正是進入數學殿堂的最重要的必備素質。而且因為這種「靈活性」與「創造性」，使得學生不停地探索數與數之間的各種關係，這種數與數之間各種關係的熟悉感，不單是對計算能力有很大幫助，幾乎對整個數學學習生涯都有莫大的幫助，比如因式分解、數列的收斂等等；但計算能力好，可能就只限於小學階段考個好分數了。

所以強調數感的培養，不僅有助於計算能力的提升，還將促進理解力的提升，和養成主動思考的積極態度。

而過份重視程序化計算能力（如豎式的熟練度）的訓練，將很容易惰化思維。我想這也是NCTM中明確反對它的根本原因。

但是：

∑我們普遍在用計算器的標準來衡量孩子們的計算能力

讓我們先來看一個學校二年級學生的計算能力檢測標準：

也不時收到有朋友發來的類似這樣的疑問：

「老師今天發了一張紙，是所有兩個數的和等於11的算式，讓小朋友今天背會。孩子背起來很困難，為什麼會有這樣的數學作業？」

也有喜歡研究新教育方法的家長朋友在推薦印度數學和日本數學，說它們可以讓孩子算得又快又准又好玩。

印度數學十六式

日本數學

……

所有的這一切，都可以看出教育者的功利。

只是，有的粗暴些，有的含蓄些。

但本質是一樣的。

他們都有試圖對孩子的大腦進行編程，植入一套程序，然後讓孩子快速準確地解決計算問題。可是，這和我們編一個計算器程序有什麼不同呢？當我們花好幾年時間將孩子編成一台偶爾還會出錯的計算器時，該喜還是該悲？

也許，在這些教育者的認知中，數學就是計算，計算就是數學。

∑大量程序化的計算是培養數感的天敵

程序化的計算指的是什麼？

上面說過的——

印度數學十六式

日本數學計算大法

以及我們整天練的豎式

都在這個範疇里。

因為這些計算方法有固定的計算步驟，使用者不需要去理解背後的原理，照貓畫虎，都能算對。因此這類計算，被普遍認為是沒有思維過程的。

沒有思維過程，意味著每次都只是進行著程序上的機械性重複。因為是機械性的重複，意味著每次的練習除了提升這種程序的熟練度之外，沒有太多額外的收穫。

更加要命的是，這種長時間持續的機械性重複訓練，給很多孩子養成了一種嚴重的思維惰性。從而失去了學習觀察的機會，失去了主動思考的意識。

這將遺毒無窮……

看到過好多6年級孩子，他們很熟練地計算著

6666÷2222=3

但在綜合算式中，怎麼都看不出——6666 是 2222的3倍。

還有好多孩子在計算類似：1/16+ 1/24 時

他們的計算過程也是完全程序化的：

1/16+ 1/24

=16/（16×24）+24/ （16×24）

=40/384

=5/48

對他們來說，一下看出48是16和24的公倍數是很困難的。如果提醒，那他們就一定要使用一遍短除法才能找出它們的公倍數。所以，對他們來說，還不如用前一種方法來得更快。

出現這種狀況的根本原因，就在於日常大量的程序化計算練習，使得他們：

失去了很多觀察數與數之間的聯繫和關係的機會；

失去了很多創造性地進行計算的機會，從而也失去了計算帶來的樂趣；

養成了對計算的條件反射式的反應，其實也就是思維上的惰性。

所以，我說大量程序化的計算是培養數感的天敵，其遺毒無窮。

更可怕的是，現在這種功利性的程序化計算訓練還在往幼兒中滲透。前段時間看到一篇文章《幼兒園學生1分鐘攻下小學數學》，一個叫Mandy的老師發明了Mandy數學，將20以內的進位加法完全變成了一個抽象的加法表上的程序化動作。

這些幼兒正是在構建數量、以及加減概念的關鍵時期，極需在更多具體實際場景中建構數與量之間的對應關係，建構加減法與數數之間的對應關係。這種程序化的抽象訓練將極大地影響和破壞這一過程。

那麼，提高數感應該從哪些方法著手呢？

∑在情境中進行運算

在情境中進行運算，有很多好處。

因為運算有了具體場景，而小學階段孩子們的思維不是完全抽象式，是必需藉助於具像的事物或場景，有了思維可依託的場景。就可以進行思考，有了思考，就有了各種創造性的可能。

孩子越小，數學能力發展越慢的孩子，這就越重要。

但很多教育者著急，就象前面說的那個Mandy老師，老想著快速越過這個階段，然後就是大量的程序化的計算練習。這樣練習的結果就是，雖然看著孩子們能快速進行某類計算，但他們並不理解背後的原理，也就對其思維水平的提升幫助極少。這種欲速則不達的道理，在很多高年級孩子身上都不停地得到印證。

關於在情境中進行運算的具體例子，可參考我在之前寫的兩篇文章：

《幫一年級小朋友理解減法算式》

《影響數感發展的那些事（低齡篇）》

∑概念為本、算理為先

我先講兩個有階段性計算障礙的例子。

一個3年級的孩子，由於之前出國了一年多，雖然在國外也在上學，但由於語言等原因，數學學的很不系統。回國學習一段時間後，在乘法運算等方面都遇到了比較多的困難。

學校在教乘法豎式，他學不會。其實，學不會的孩子是比較好辦的。學不會，說明孩子不願意接受他不理解的事物。要不然，對沒有智力障礙的孩子，那麼複雜的電子遊戲都無師自通，誰會模仿不了那些簡單的套路。這說明他們在智力上是自律的，內在心智不隨便接受權威，而是根據自己的邏輯結構來判斷。這種孩子，只要讓他真正理解了概念和算理，一切就都OK了。

於是，我給他重點設計了兩類練習。

一類練習讓他理解數位和計數單位的概念。

比如任何3位數ABC都可以按需要很自然地看成：

A個100+B個10+C

當然也可以看成 ：AB個10+C

……

另一類練習，讓他在具體場景中去理解去做乘法的練習。比如：一箱蘋果25個，48箱共幾個蘋果呢？

列式是：25 × 48

計算時，我可以先算40箱的個數，再算8箱的個數，再加起來。所以，計算就可以變成：

25 × 48

=25×40+25×8

=1000+200

=1200

這就是乘法運算過程中最基本的算理，不管是豎式、印度數學還是日本數學，乘法運算背後的算理都是這個。

小夥子很快就將這個算理掌握和理解得非常好了。我甚至都沒他講解過一次乘法的豎式，也沒做過任何豎式的練習。三個這類的練習之後，他對乘法豎式一下就理解了。之後計算能力一直保持得很強，也甚少出錯。

另一個是四年級的孩子，在3年級結束後的暑假接觸到他的數學。他當時對除法運算，對多位數除以一位數的除法運算完全是混亂的。

同樣道理，對沒有智力障礙的孩子，他學不會他應該能學會的內容。說明他在智力上是自律的，是在內心不願接受他不理解的事物，所以不願意去接受套路。

我只花了半個多小時的時間和他一起研究了除法豎式的算理。他又練習了半個多小時，然後除法運算對他就是小菜一碟了。後面他再學多位數除以多位數的除法，小數的除法，也沒再遇到任何障礙。

所以，在學運算時，概念是根本，只有概念清楚，才能做對心中數，對一切變化都瞭然於胸。算理清楚了，才能生髮出各種各樣的創造性和多變性。使計算過程更簡單、更有趣。

∑推遲標準化計算程序的訓練

像前面提到的豎式、印象數學十六式、日本數學等，都屬於標準化計算程序的一種。這些方法的主要特徵，就是人們在使用這種方法進行運算時，甚少進行思維活動。

為什麼要推遲進行這種標準化計算程序的訓練呢？

一個是因為這種長期、機械的簡單重複訓練，讓人極易產生思維惰性。而這種思維惰性一經產生，它就是一種慣性，要改變就會很困難。

而思維惰性和創造性、靈活性是天生的敵人。

而數感從創造性和靈活性中而生。

另一個是因為一旦標準化計算程序得到很熟練的掌握後。孩子就沒有積極探索各種計算策略和方法的動力了。比如在計算：99×98時，豎式乘法很熟練的孩子，不會再有任何想法。沒學豎式的孩子，就會從概念和算理角度來考慮。99 × 98 可以看成是99個98相加，它和100個98減去1個98是一樣的

於是：

99 × 98

=100× 98-98

=9800-98

=9702

在學各種標準化的計算程序（如豎式）之前，讓孩子們有充分的時間和機會去探討和研究計算的多樣性和靈活性。非常有助於孩子們真正理解算理，對數感的培養會有非常大的促進作用。

∑多聽少教

除了書面的練習，孩子們非常需要在以孩子的思維活動為主的對話中進行學習。這種對話式的學習環境會促進他們主動地尋找獨立解決問題的方法。而教育者在對話過程中通過問題啟發孩子進一步的深入思考。

有了思維活動，就有了學習如何觀察、實踐著各種靈活多樣的創造性的機會，還可以有機會比較自己和他人所使用的不同的策略。這個過程中，孩子可以體會到自己的思考和創造得到別人認可所帶來的快樂。

在個過程中，孩子不斷地同化和順應著自己接觸或創造的不同概念和方法，從而促進其思維水平不斷向前發展。

但這種的對話過程中，也存在一些常見的誤區：

1、容易把對話過程變成一種糾錯過程，我們往往會抓住孩子的一兩個小錯誤不放。這將極大地大擊孩子的積極性和思維的興奮度。

我們應該多聽、多問、少教。

讓孩子能夠順暢地按照自己的思路來組織語言。

2、容易把對話過程變成一處教學過程。

教育者特別是家長在進行這種對話時，很容易就想把自己知道的相關知識和方法教給孩子。

對孩子笨拙的描述和方法通常不能保持耐心。

但我們要知道，教育的目的不是為了解當前這個問題，而是要促進孩子思維水平的發展，而思維水平的發展，是依賴於他們自己的積累。所以，任何自主的思維過程都是有價值的，都應該鼓勵其繼續下去。

∑鼓勵心算

心算有特別多的好處，經常使用心算，而不是豎式。就會要求孩子去考慮計算策略的選擇，計算策略的選擇過程就會要求孩子不斷地對數進行重組，在這個重組的過程刺激孩子不停地思索數與數之間的關係。

通過之前的討論，我們已經知道，孩子們數感強弱的根本就在於數與數之間的聯繫多少。

這種心算的練習，將會極大地加強數與數之間的聯繫，對孩子的數感培養起來很大的促進作用。

同時，對運算規則的理解都有極大的幫助。

PS：這裡的心算不是指珠心算，珠心算是圖像式的記憶運算，對數感的培養正面作用甚少。

*文章選載自微信公眾號動靜有數，作者楊代盟。

好玩的數學

微信號：mathfun

好玩的數學以數學學習為主題，以傳播數學文化為己任，以激發學習者學習數學的興趣為目標，分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等，為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！