六個價值百萬美元的數學未解之謎
或許你們都聽過這個故事。2006年，俄羅斯的數學家佩雷爾曼（Grigori Perelman）一舉解決了著名的龐加萊猜想。榮譽和金錢，對佩雷爾曼而言唾手可得。然而，他卻表示並不想跟「凡夫俗子」們一塊玩，不僅拒絕了100萬美元的獎金，也拒絕了代表數學界的最高榮譽之一的菲爾茲獎。
佩雷爾曼所解決的難題正是2000年美國克雷數學研究所（Caly Mathematics Institute）公布的七個千禧年大獎數學難題之一。為了彰顯這些問題的重要性，一旦有人能為其中任何一個問題提供正確詳細的解答，便可獲得100萬美元的獎金。雖然贈與每個問題的解答著的獎金是有限的，但解決這些問題所能帶來的價值卻是無價的。
從公布到現在，除龐加萊猜想外的另外六個問題仍未被解決。
2018年初始，讓我們來重新回顧一下這六個大問題：
1. P vs NP問題
在數學和計算機科學的世界中，有許多問題是我們知道改如何通過計算機程序來迅速解決的，例如基本的算術、排序問題、數據搜索等等。這些問題都可在「多項式時間」（簡稱P）內解決。它意味著完成加和運算、為列表排序一類任務所需的步驟，在多項式級別上受如數字的多少、列表的長短等因素影響。比如說，如果程序運行時間隨著數據規模增大而等量增大，那我們稱這個程序的時間複雜度為O(n)。比如在n個數中找最大值的演算法。程序需要在遍歷所有數值之後得到最大值。輸入數據的規模n增大，所需要遍歷的時間也等量增大。
但還有一種問題，對這些問題來說我們能輕易判斷它們的可能解是否正確，但卻無法知道如何高效的找到一個解。例如尋找一個大數字的素因數就屬於這類問題，如果有一串可能的素因數，可通過將它們相乘來檢驗得到數字是否是原始數字；但卻並沒有一個可以迅速找到任意一個數的素因數的方法。 而正是這個事實，為互聯網安全提供了理論依據。現在普遍使用的RSA演算法正是利用了尋找大數質因數的複雜度被普遍認為是最優秀的互聯網公鑰生成方案之一。這些我們能迅速檢查可能解卻不能迅速解答的問題被稱為需在「不確定性多項式時間」（即NP）內解決的問題。
自然，所有P類問題集合都自動包含在NP類問題集合內，因為如果一個問題能被快速求解，自然就可通過直接求解的方式來迅速檢查這個解是否正確。P與NP問題的精髓就在於是否所有NP類問題集合也都自動包含在P類問題集合內：如果能有一個方法能迅速檢查一個問題的解，那是否存在一個有效的找出這些解的方法？
大多數學家和計算機科學家認為答案是否定的。一個能在多項式時間（P）內解決NP問題的演算法，對整個數學、科學和科技領域裡都有著不可估量的應用價值，例如生物方面的基因序列比對，經濟方面的納什均衡計算，甚至是計算機領域本身的電路優化及核對。而這些應用能遠超人們的想像，以至於人們質疑它們是否可能。
當然，本身要證明這樣的演算法不存在就是一件使人望而生畏的難題。若要對這一問題作出準確的判斷，我們必需對信息和計算的本質有著比現在深入得多的理解，而幾乎可以肯定的是，它所具有的意義的深遠程度是無可比擬的。
2. 納維葉-斯托克斯方程
Dan Lacher
在清晨的一杯咖啡中加入少許牛奶，並將之攪拌，會發生什麼？這個在日常生活中極為常見的現象，卻意外的是個極難被解釋的問題。
納維葉-斯托克斯（Navier-Stokes）方程（簡稱NS方程）在流體力學界就相當於經典力學中的牛頓三大運動定律，它們描述的是氣體和液體的運動在不同的環境里會如何演化。正如牛頓第二運動定理描述一個物體的速度在外力作用下會如何改變一樣，NS方程描述了流體的流動速度會如何受壓力、黏度等內力以及重力一類的外力影響。
NS方程是一組微分方程。微分方程是用來描述一個特定的量在給定的初始條件下會如何隨時間改變，它們可用來描述幾乎所有的物理系統。在NS方程這個例子中，從流體的初始流動開始，我們可以用微分方程來描述這個流體的流動隨時間的演化。
求解一個微分方程意味著，通過能描述我們關注的量的那些方程，來找到能在任意時間上我們得到想求的量的數學方程。許多物理系統都是通過微分方程描述的，無論是振動的吉他弦、還是從一個高溫物體向低溫物體傳遞的熱流。
但NS方程要難很多：從數學角度來講，目前用來解其他微分方程的技巧對它無效；從物理角度來講，流體能表現出混沌和湍流行為——例如從蠟燭和香煙流出的煙的初始流動會趨向於平穩並且可以預測，但很快就會陷入不可預測的渦流中。
這種類型的湍流和混沌行為意味著很可能在所有情況下，NS方程都不能被精確求解。或許我們有可能建立一些遵循這些方程的理想數學流體。
任何能夠找到在所有情況下解出NS方程、或給出NS方程不能被解開的例子，就能贏得這100萬美金。
3. 楊·米爾斯存在性與質量間隙
數學和物理一直都處於一種互利共贏的關係。數學發展往往能為物理理論打通新的研究路徑，而新的物理髮現又時常激起更深的基礎數學解釋。
量子力學是有史以來最成功的物理理論之一。物質和能量在原子與亞原子尺度上的行為會表現得非常不同，而20世紀最偉大的成就之一就是發展出了一套用於理解這種行為的理論和實驗。
現代量子力學最重要的基礎之一就是楊·米爾斯理論（Yang-Mills theory），它利用了從幾何對稱中得到的數學結構來描述電磁力、弱核力和強核力。楊·米爾斯理論做出的預測經受住了許許多多的實驗驗證，並且還是理解原子是如何束縛在一起的重要部分。
除去物理上的成功，該理論的數學理論基礎至今仍不甚明朗。其中一個特別引起關注的問題就是「質量間隙」（mass gap），它要求一些亞原子粒子在某種程度上能與光子類似，是沒有質量的。質量間隙是用來解釋為何核力的強度要遠高於電磁力和引力、但作用範圍卻極短的重要概念。
因此這一千禧年問題就是要展示出楊·米爾斯物理理論背後的數學基礎，並對質量間隙作出一個完整的數學解釋。
4.黎曼假設
黎曼。| 圖片來源：Wikimedia Commons
素數（質數）一直是數學家們最關注的課題之一。從基礎層面說來，素數就像是物理世界中用於構築萬物的原子，所有整數都能被分解成一組獨一無二的素數。
基於素數在數學中的核心地位，研究素數如何沿實數直線分布（或者說每個素數之間的距離有多遠）是數學家的興趣所在。
到19世紀，數學家已經發現了許多個可給出素數之間的近似平均距離的公式。但是，仍處未知的是素數的確切分布與這個平均值相距多遠，也就是說，根據那些均值公式，實數直線上是否存一些素數「太多」或「太少」的的部分。
黎曼假設通過根據素數的分布離均值的距離建立範圍來限制了這些存在，它是關於一個叫「黎曼ζ 函數」的數學構造的零點分布的猜想。黎曼ζ 函數是在複數平面上的一條特殊曲線，ζ 函數也已成為了數學領域中需獨立研究的課題，這使得黎曼假設和與之相關的問題顯得都更加重要。
就像其他幾個千禧年問題一樣，許多證據都在暗示黎曼假設是真的，但是完整詳盡的證明卻仍依然沒有出現。到目前為止，計算機方法已經找到大約10萬億個ζ函數的解，還沒有出現一個反例。
另外黎曼假設有許多不成功的證明，其中最著名的錯誤是由法國數學家 Alan Connes犯下的。Connes 是一位極有聲望的數學家，他是1982年的菲爾茲獎得主。他發展了一套叫非交換幾何的理論，並想用這個理論來證明黎曼假設。在1997年，當他認為自己成功證出之後，便飛到普林斯頓去報告這一成果。可惜很快就被人指出其中存在的錯誤，而這寫錯誤直至今日也無法挽救。後來他寫過一些文章來講述這種錯誤對一位數學家所造成的挫敗感，在一篇文章中，他這樣說道：「按我第一位老師 Gustave Choquet 的說法，公開面對一個著名的未解決問題是一種冒險， 因為別人將更多地記住你的失敗而不是其它......在到達某個年齡之後，我意識到 『安全地』 等待自己生命的終點同樣是一種讓自己失敗的選擇。」在後來的這20年中，他一直沒有停止過對其中的錯誤進行補救。
還有一個著名的「無人問津」的案例是來自普渡大學的教授 Louis de Branges，他在2004年宣布自己證明了黎曼假設，但一直沒人理會。與認為證明了ABC猜想的望月新一相似的是，他也為了證明發展了新的理論；但與望月相反的是，他的學術名聲並不好，因此所有人都認為這一定是錯的。
當然，從數學角度來說，一個假設有10萬億個為真的例子絕不等於擁有一個完整的證明，這讓黎曼假設到現在為止仍位列未解難題的行列中。
5. 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想
Flickr/Ozzy Delaney
數學研究的最古老、最廣的對象之一就是丟番圖方程，或者說是我們想要尋求整數解的多項式方程。最經典的一個例子就是我們在初中幾何課上就學過的畢達哥拉斯三元組數，或者說三組滿足畢氏定理、也就是勾股定理 x2+y2=z2 的整數。
橢圓曲線的研究歷史已經有200多年了。橢圓曲線是被一種用特別類別的丟番圖方程所定義的曲線。這些曲線對數論和密碼學都有著重要應用，而尋找這些曲線的整數或有理數解是該領域的主要研究。
最近幾十年來，數學界最閃耀炫酷的進展就是 Andrew Wiles 對經典費馬大定理的證明，它證明的是更高階版的畢達哥拉斯三元組數並不存在。 Wiles對費馬大定理的證明導致了對橢圓曲線理論的更廣的發展。
而貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（BSD猜想）為理解由橢圓曲線定義的方程的解提供了一套額外的分析工具。
6. 霍奇猜想
Claudio Rocchini via Wikimedia Commons
總的來說，代數幾何的數學規則是研究可用代數定義為代數方程的解集的高維形狀。
舉一個最簡單的例子，如果你還記得中學代數里學過的y=x2，當該方程的解在一張紙上畫出來時，就會得到一個拋物線的形狀。代數幾何處理的就是在考慮多元多項的複數方程系統時的更高緯度版本的曲線。
在20世紀，數學家發展出許多更加成熟的技巧以便更好的理解代數幾何的研究對象，比如曲線、曲面和雙曲面。這些難以想像的形狀可通過複雜的計算工具變得更易接受。霍奇猜想認為某些特定的幾何結構具有一種特別有用的，可用來更好的將這些形狀研究和分類的代數對應。
霍奇猜想沒有有效的計算證據，因為無法找到對的方法來進行一般情況的計算。因此，數學家仍不能確定霍奇猜想是否正確。另外，從另一個角度來看，相較於黎曼猜想，霍奇猜想可以錯，但黎曼猜想不能。因為若黎曼猜想是錯的，導致的後果是世界的崩塌；而霍奇猜想若是錯了，後果也只是會讓世界更複雜卻不會崩塌。
以上便是六個千禧年數學難題的簡單描述。任何有志於解開其中一個問題的讀者可以在克雷數學研究所官網中閱讀到對這六個問題的詳盡描述。
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