神馬！體形決定痘痘的多少？——20世紀大猜想之莫德爾猜想

【譯者按】本文依據《數學討論班》雜誌1998年11月號接力連載專欄《20世紀的猜想》之《莫德爾猜想》篇譯出。作者森脇淳學術專長是Arakelov幾何，非常熱心於數學教育與數學傳播，現任京都大學理學研究科科長。

今年元旦「求諸堂」推出了安德烈危矣年表，最近連續翻譯整理一些與危矣的學術貢獻有關的介紹性文章，希望有助於大家走近這個20世紀數學巨人的精神世界。

莫德爾猜想是危矣學術路上的處女作，相關研究也貫穿了危矣整個學術生涯。莫德爾猜想將危矣帶進了算術幾何的迷人領域，使這個天才兒童找到了畢生的精神歸宿。另一方面，天才兒童也為莫德爾猜想帶來了新的思想，開拓出新的境界。這正是好的猜想與好的數學家良性互動的典範。天才兒童艱難探索出新的思想之光時，當時他與他的導師都認為勝利在望了，結果又過了整整55年才最終解決。這段逸聞可以印証森脇文中對這個猜想難度的評價。

求諸堂最近可能斷更兩周。以往一不高興就斷更小半年，那是因為抑鬱。而這次是因為有其他很費力的工作要做。

【正文】

1. 莫德爾

1922年莫德爾發表了一篇里程碑式的論文。在該文中他證明了今日所稱莫德爾-魏依定理的一部分，更進一步提出了在當時非常大膽的如下猜想。

猜想1.1 定義在有理數域上的虧格大於2的曲線只有有限個有理點。

我們一點點往前來分析這個猜想的含義。

首先從一次式

開始。找到一個有理點(x_0,y_0)之後，

其他的有理點就可以用有理數t表示為

由此很容易明白滿足上述一次式的有理點(x,y)有無窮多個。、

那麼不可約二次式

的情形又是如何？（此處a,b,c,d,e,f都是有理數。）與一次式的情形比較，討論更複雜了，有必要將問題分成兩個。

(1) 是否存在有理點？

(2) 若存在，是否有無窮多個有理點？

與一次式的情形不同，(1)未必成立。比方說

沒有有理點。(2)則是對的。為了看出這一點，我們考察

一般情況容易由這個例子推察得知。首先(-1,0)是C的有理點。假設(x,y)是另一有理點。用t表記過(-1,0)與(x,y)的直線l的斜率，則t是有理數，l可以寫為y=t(x+1)，（圖1）。因為(x,y)是C與l在(-1,0)之外的交點，所以有

反之，當t為有理數時上式給出C（(-1,0)之外）的有理點。

圖1

進一步考慮三次式的情形。為了簡單起見，只考慮至少存在一個有理點的非奇異三次曲線。這樣的曲線稱為橢圓曲線。與之前的情形比起來，橢圓曲線的內容要遠為困難艱深，並且有許多未解決問題。例如，可以導出費馬大定理的谷山-志村-魏依猜想由懷爾斯完全解決，還是記憶猶新的事。

無論如何，這種情形通過適當的變數替換，可以整理成式子

其中a,b是有理數。將E的有理點全體記為E(Q)。E(Q)如今仍然是方興未艾的研究對象，其理由在於E(Q)上有群結構。群結構是如下定義的。對於E(Q)中的點P與Q，過P、Q的直線與橢圓曲線E交於P、Q之外的一點，將這一點關於x軸的對稱點記為R，那麼R就是P與Q的和P+Q。E(Q)的群結構的單位元O是無窮遠點（圖2）。

圖2ddd

在1922年的論文中莫德爾證明了如下事項。

定理1.2 E(Q)是有限生成阿貝爾群。

上面的定理用幾何語言表述可以這樣說。連接兩個有理點的直線與橢圓曲線的交點可以給出第三個有理點，適當選取有限多個有理點，那麼橢圓曲線上全部有理點都可以從選定的有限個有理點出發，經由反覆求交點的操作而得到。這是非奇異三次曲線情形的現象。例如，考慮有奇點的三次曲線

以及

與前述場合一樣，C_1(Q){(0,0)}與C_2(Q){(0,0)}中也可以加入群結構，但是

二者都不是有限生成阿貝爾群。

由定理1.2與阿貝爾群的基本定理，作為抽象群E(Q)可以寫成循環群的直積

特別地，上述表示中Z的個數稱為E(Q)的秩。也即，

E(Q)的秩

使用秩的概念，我們有

E(Q)只有有限多個元素 E(Q)的秩為0。

例如，考慮

則

（

這件事與

的整數解有著密切的關係。）再舉一例，考慮

則

（E_2(Q)的生成元由

給出。）

一般說來求秩是非常困難的問題，關於此也有各種各樣的猜想。小結一下，對於至少有一個有理點的非奇異三次曲線，哪怕有理點有無窮多個，作為群來講是有限生成的，仍然具有某種有限性。

我想讀者已經能夠觀察到，隨著一次、二次、三次這樣次數的升高，有理點就越來越難有。那麼四次以上會如何？想得天真一點，大概會推測是不是有限個吧。只是需要注意。如同在三次式的情形已經出現的那樣，有了奇點情況就為之一變。為了敘述準確起見，不能迴避「虧格」的概念。在此談談虧格。

首先給定不可約二元多項式f(x,y)，考慮其零點集合

因為這個集合不是緊緻的，將其緊化記為C_0。事實上C_0是如下作出的。取與f(x,y)次數相同的三元齊次多項式F(x,y,z)，使得F(x,y,1)=f(x,y)，則

此處(x:y:z)是二維復射影空間

的齊次坐標。

因為C_0可能有奇點，將C_0的正規化記為C。要而言之，如圖4所示，C_0的奇點解消之後得到C。

圖4

C是緊黎曼面，也即拓撲上是個閉曲面。閉曲面就是如圖5那樣開了很多洞的甜甜圈，其拓撲分類僅由洞的數目決定。這個洞的數目稱為虧格。

圖5

例如，橢圓曲線的虧格是1，而虧格0，也就是與球面同胚的曲線稱為有理曲線。再者，在F(x,y,z)的次數為n，C_0上沒有奇點的情形，虧格由

給出。到了這一步，我想文首寫過的莫德爾猜想的含義就終於可以理解一點了。猜想可以稍稍推廣。Q上有限次代數擴張稱為代數數域。此時如下猜想稱為莫德爾猜想。

猜想1.3 定義在代數數域上的虧格大於2的曲線只有有限個有理點。

然而深思熟慮一番就會發覺，這個猜想極其大膽。原因在於虧格是拓撲不變數。這就是說，猜想表達的是曲線的拓撲控制了有理點。從這個意義說來，在專家中間莫德爾猜想被公認為非同尋常地困難，本世紀內是不可能解決的。

2. 法爾廷斯

3. 法爾廷斯之後

4. 面向21世紀

柯召院士的指導老師莫德爾

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