梯度下降法的三種形式BGD、SGD以及MBGD

知識 01-16

在應用機器學習演算法時，我們通常採用梯度下降法來對採用的演算法進行訓練。其實，常用的梯度下降法還具體包含有三種不同的形式，它們也各自有著不同的優缺點。

下面我們以線性回歸演算法來對三種梯度下降法進行比較。

一般線性回歸函數的假設函數為：

hθ=∑j=nθjxj

對應的能量函數（損失函數）形式為：

Jtrain(θ)=1/(2m)∑i=1m(hθ(x(i))?y(i))2

下圖為一個二維參數（θ和θ1）組對應能量函數的可視化圖：

1. 批量梯度下降法BGD

批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，簡稱BGD）是梯度下降法最原始的形式，它的具體思路是在更新每一參數時都使用所有的樣本來進行更新，其數學形式如下：

(1) 對上述的能量函數求偏導：

(2) 由於是最小化風險函數，所以按照每個參數θ的梯度負方向來更新每個θ：

具體的偽代碼形式為：

repeat{

（for every j=0, ... , n）

}

從上面公式可以注意到，它得到的是一個全局最優解，但是每迭代一步，都要用到訓練集所有的數據，如果樣本數目m很大，那麼可想而知這種方法的迭代速度！所以，這就引入了另外一種方法，隨機梯度下降。

優點：全局最優解；易於並行實現；

缺點：當樣本數目很多時，訓練過程會很慢。

從迭代的次數上來看，BGD迭代的次數相對較少。其迭代的收斂曲線示意圖可以表示如下：

2. 隨機梯度下降法SGD

由於批量梯度下降法在更新每一個參數時，都需要所有的訓練樣本，所以訓練過程會隨著樣本數量的加大而變得異常的緩慢。隨機梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，簡稱SGD）正是為了解決批量梯度下降法這一弊端而提出的。

將上面的能量函數寫為如下形式：

利用每個樣本的損失函數對θ求偏導得到對應的梯度，來更新θ：

具體的偽代碼形式為：

1. Randomly shuffle dataset；

2.repeat{

for i=1, ... ,m{

(for j=0, ... ,n)

}

隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬），那麼可能只用其中幾萬條或者幾千條的樣本，就已經將theta迭代到最優解了，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓練樣本，一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。但是，SGD伴隨的一個問題是噪音較BGD要多，使得SGD並不是每次迭代都向著整體最優化方向。

優點：訓練速度快；

缺點：準確度下降，並不是全局最優；不易於並行實現。

從迭代的次數上來看，SGD迭代的次數較多，在解空間的搜索過程看起來很盲目。其迭代的收斂曲線示意圖可以表示如下：