歐拉數不等於2的幾何體
歐拉數不是2的幾何體
趁著寶寶睡著了，我開始四處尋找反例。我就不信，所有的幾何體歐拉數都是2，如果真的這樣，世界該多麼無趣。
首先我想到的是長方體，似乎很容易驗證，它的歐拉數為2。
接著我想，如果將兩個簡單幾何體貼在一起，豈不是少了一個面。比如將兩個四稜錐粘在一起，這樣子。
它的歐拉數是多少？頂點數v=6，棱數e=12，面數f=8，歐拉數v+f-e=2，還是2
是不是這樣的拼接太過簡單了，我再試試這個東東。
這是一面是平的，另一面是如圖的五星，掛在農村禮堂上的那個裝飾物。它的歐拉數是多少？頂點數v=11，棱數e=20，面數f=11，歐拉數v+f-e=2，居然還是2
數學佬老了，創造力有限，想不出來了。直到今天中午，我在吃午飯的時候看到一個蘋果
如果在一個已知的幾何體中捅一下，會產生什麼效果？就猶如一個蘋果，在頂端有一個凹。
它的歐拉數是多少？頂點數v=14，棱數e=21，面數f=10，歐拉數v+f-e=3？
怎麼回事，我數錯了吧！
在連續數了十遍，隔天又數了十遍之後，我確認，我數的數字是沒有錯的。這個幾何體的歐拉數就是3。
好高興，我找到第一個反例，順著這個思路，我逐步又找到了類似的許多反例。比如
還有這樣
親愛的朋友們，你們也可以構造出這樣的反例，其實就是在一個滿足條件的雪糕上挖一勺子，或者再加一小堆雪糕。
但這個又有所不同，頂點數v=16，棱數e=24，面數f=10，歐拉數v+f-e=2！
還有這個，注意，這個和前面提到的挖洞略有不同，中間的小長方體和大長方體的頂面不是在一個平面上。頂點數v=16，棱數e=28，面數f=14，歐拉數v+f-e=2！
數學佬百思不得其解，為什麼有的幾何體挖掉一塊就不滿足歐拉數=2，而有的幾何體挖掉一塊就滿足歐拉數=2了呢？
不得已，我還是把睡夢中的橡皮小兵喊了起來。
胖乎乎圓溜溜的橡皮小兵迷迷噔噔聽我說完，說，我餓了。
好吧，我先遞上一碗陽春麵，再加一份酸奶沙拉，額外又吃一份雪糕。吃完所有的東西，橡皮小兵砸吧砸吧嘴，輕輕一瞥，不是告訴你了嗎？所有能通過形變變成球的幾何體，它們的歐拉數都是2。你看看你的兩個反例，能形變成球不能？
通過形變的結果是一個大球內切一個小球，並且兩個球在切點處是一個洞。如圖
明白了，它的歐拉數就不等於2了。
至於那個長方體上面疊加一個三稜錐的幾何體，它通過形變得到的幾何體是兩個球外切，並且切點處是個洞。所以它的歐拉數也不是2，明白了嗎？
哦，數學佬有點明白了。
橡皮小兵舔了舔嘴邊殘留的雪糕，接著說，其實。你的反例並不全面，我還可以舉出另一個更極端的反例。
這是一個長方體內部有一個長方體空洞，我們來計算一下它的歐拉數。頂點數v=16，棱數e=24，面數f=12，則歐拉數v+f-e=4。如果有兩個空洞，則歐拉數為6，以此類推。
我算是明白了，內部挖空的幾何體，其形變的結果是一個球內含於另一個球，不過，我覺得每次都需要形變，有點麻煩，是不是有更簡單的判斷標準呢？對比了歐拉數為2的挖洞和歐拉數不為2的挖洞法，我發現，歐拉數為2的挖洞法所有的頂點是連通的，而歐拉數不為2的挖洞法，不管是面上挖洞還是裡面挖洞，他們都是不連通的。
橡皮小兵露出詫異的眼神，不錯哦，這都看得出來，我還想憑藉這一條規律訛你一頓披薩呢。算了，你自己發現的算你本事。
小結：歐拉數為2的幾何體所有點之間必須是連通的。（連通是個很高級的數學概念，我想，就算我不解釋，所有人都能理解這個辭彙。）
數學佬正在得意，橡皮小兵拋出一個圖，你再算算它的歐拉數。
很顯然，這無非就是正方體上捅一下，捅穿了而已。估計沒啥毛病，連通的嘛。
頂點數v=16，棱數e=32，面數f=16，歐拉數v+f-e=。。。。。。！我的媽，我的下巴都嚇掉了。見鬼了嗎？
哈哈哈，哈哈哈，橡皮小兵咚地倒在地上，笑抽過去。來來來，我還沒出更複雜的圖呢。怎麼樣，這個圖換個披薩不過分吧。
好吧好吧，數學佬認慫。。。。外賣很方便的。慢著慢著，我突然明白過來。這個圖經過形變，可不能變成球，對吧，哈哈，它最多變成一個環——游泳圈好歹我是見過的。
看著橡皮小兵一幅沮喪的表情，我還是點了披薩外賣，裝作虛心求教的樣子。那麼，滿足歐拉數等於2的幾何體除了連通，還有什麼特點呢？我以一個披薩的名義求教。
橡皮小兵聽說有披薩，轉瞬精神起來，要！你想，游泳圈和球的區別就是，球用一刀就能劈成兩塊，而游泳圈一刀不一定能劈成兩塊，它也可能被劈成一個圓柱。
因此，在幾何體表面上任意畫一個圈，歐拉數等於2的幾何體都必然被這個圈分成兩塊。
OK
在支付了一碗面一杯牛奶一份酸奶沙拉，外加一份披薩外賣的條件下，我們終於得到歐拉數為2的幾何體所具有的特徵：
1、幾何體必須是連通的。
2、幾何體能被表面上的任何直線段構成的圈，都能將該幾何體分成兩片。
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