數學教育，家長先要明白的十個問題 上
前幾天在群里，我給大家推薦了這本書：
頂了一個看起來很山寨的名字，也沒有什麼名師名校牛人加持，這本書在各個平台的銷量極其慘淡，讓我想起了同樣被名字坑的很慘的《三傻大鬧寶萊塢》。也許是引進方為了蹭蹭熱點，故意起了這樣一個書名，但其實書的內容和數學素質沒有多大關係，更談不上如何培養，還不如索性敞亮點，按英文的原意翻成《怎樣讓你的孩子學好數學》。這就是一本寫給家長們看的，讓家長們理解數學教育中的一些基本問題的書。
作者的簡歷也很簡單：大學本科數學系畢業，培訓機構教書。在我看來，一個接受過系統數學教育訓練，又有長期一線實戰經驗，靠本事吃飯的培訓老師，抵得上五百個只會講干話的專家。
需要提醒大家的是，在閱讀這本書時要注意到作者所處的歐美教育環境和文化差異。比如，作者反覆強調「要大量做題」，是基於歐美學生的練習量來說，對於我們來說，更應該理解為適量做題。
如果沒買這本書，或者不能理解書裡面作者的一些觀點，看看我摘要的十個問題就可以了（引用部分為書摘）：
1、為什麼要學好數學？
數學的重要性不僅在於它可以使學生懂得如何用三角函數的知識來測量建築物的高度，還在於數學可以使學生分析和解決不同問題的能力得以發展。數學發展了學生的具體推理能力、空間推理能力以及邏輯推理能力。數學發展了學生的技能，這種技能不僅僅可以應用於科學和技術；如果能夠正確教授學生數學知識，那將會發展學生的基本認知結構，並提高他們的智力；邏輯推理能力可以幫助律師分析案件的法律形勢進而給出條理清楚而且有說服力的辯詞。學生將發展對於每個商人都必需的能力，那就是如何從一個系統中分離出關鍵性的因素來。他發展的思維技巧可以用於解決任何問題。他的思維和頭腦也將因此而變得更敏銳、更精確。
就像舉重可以鍛煉人的肌肉一樣，數學可以鍛煉人的頭腦。沒有哪種運動讓一個運動員突然仰面朝天躺下然後舉重十次。然而，絕大多數的運動員都要做這個運動。為什麼?因為這種運動可以使運動員更加強壯，從而可以使他們對於通常的體育項目有所準備。
如果你合理地教授一個孩子數學的話，你就送了他一份大禮，這份大禮就是使他的智力更加敏銳、更加強大。事實上你幫他發展了他的頭腦。你使他更加聰明。你給了他可以在這個世界上獲得成功的基本能力，也使他能夠過更幸福的生活。你的努力不僅僅使他在數學方面更加出色，而是使他在思維方面上了一個台階。
點評：在70後、80後讀書的年代，一句「學好數理化，走遍天下都不怕」，就能夠說清楚為什麼要學好數學了。但當我們成長後發現，所學的數學知識似乎並沒有什麼實際的用處。即使是看起來最需要和數學打交道的科研工作，常用到的數學也只是所學的一小部分而已。況且，要想走遍天下，學好數學並不是最好的辦法。每當一個科學家賺到100萬，就有商人從他的成果中賺到1個億；每當有1個科學家成名，就會有1000個歌星和球星成名。
家長們應該意識到，學數學最大的意義在於訓練孩子的智力、能力和心理，給他一個更好的頭腦，為成年後的各種挑戰做準備。
真正核心的問題是：哪些數學內容，可以怎樣的方式，在多大程度上，提高學習者的哪些能力？又應該以怎樣的教學方式來實現？
如果我們只是泛泛的講學數學有好處，而不能精確的指出，哪些內容有好處，有什麼好處，有多大好處，是不能說服人的。數學教育也只停留在粗獷的工業革命時代。
2、為什麼學數學需要記憶？
亞洲體系從根本上不同於當前的美國方法，亞洲方法強調的是基於記憶的理解。美國父母和數學老師重點解釋為什麼某個技術奏效時，亞裔教育者僅僅是要求學生將這個技術記住，並準備好使用它。
你可能會認為這種教學方法會教育出僅會背下公式而不理解其意思的學生來。但是事實恰恰相反。一旦學生記住了某些信息，理解這些信息就順理成章了。另一方面，那個只注重理解而忽視記憶的教育體系的效果反而適得其反。學生們最終變得無所適從——不能理解問題或者解決問題。
這是數學教育中最奇怪的幾個悖論之一，在我從事教育工作的最初階段，我也曾為此困惑不解過。為什麼記憶在數學學習中會奏效?為什麼僅僅將精力放在對數學的理解上反而會失敗?數學不是要理解的嗎？學生們的記憶力不該省下來給歷史課嗎？
（因為數學學習中存在）「認知負擔過重」這一現象。由於學生必須反覆考慮問題中的信息以及他們並不熟悉的公式，因此他們反而不能將精力集中於如何解決問題上。
靠長期的反覆的信息記憶，亞洲教育體系下的學生對於他們所記憶的信息已經達到了非常熟悉的地步，不會產生距離感了。這些記憶上的準備保證了孩子一旦知道了這些數學知識的用處所在，馬上就能將這些數學知識形成自己的永久性記憶。因此，出乎意料的是，把這種重複性機械式的記憶作為訓練工具，亞洲教育體系避免了孩子在短期記憶上的重複性機械式記憶，取而代之的是將這些數學知識轉化成他們的永久性記憶。
點評：如果學數學只注重理解，那麼你最終不能理解它，聽起來很諷刺，不是嗎？
作者在書中花了好幾頁，舉了一個「認知負擔過重」的例子。我用一個開車的例子，來說明一下吧。
你還記不記得你作為一個新手剛開車上路的樣子。你死死的抓著方向盤，摸索著擋位的位置，不記得腳是踩在了油門還是剎車，不是漏看了信號燈，就是被突然竄出來的其它車輛或行人嚇了一跳。你來不及找路，忘記了打轉向燈，車裡起了霧氣，只好抽空拿手擦一下，還要因為忘記切換遠近光燈，受到別人的痛罵。這些操作，如果分開來，你都會，但是合在一起，你的大腦沒辦法在短時間內處理這麼多不熟悉的內容，或者說，「認知負擔過重」了。
而當你修鍊成老司機後，操作方向盤、油門和剎車這些事根本就是一個下意識的動作，只要專心路況就好了，你根本不會去想，也不記得自己是怎樣來操作的。即使幾十年不開車，也只要稍微熟悉一下，就能找回那種感覺。因為開車的技能，已經是你長期記憶中的一部分了。
學數學的情況有點類似。
我曾經講過一個學習小數乘法的例子。（看這裡：《誰說學數學就是記公式套題型刷題？數學是和你講道理的》）小數的乘法其實算不上一個新的內容，而是讓學生把他們已經學會的內容綜合起來。這包括一個主要的前置技能：整數的乘法，和兩個稍微次要的前置技能：小數縮放和乘法運算律。如果學生已經較好的掌握了前置技能，那麼他在學習小數乘法時，只要專心於把這三個部分綜合起來就可以了。否則，他就需要同時考慮四個不太熟悉的內容，這不但嚴重減慢了他學習的速度，也使得出錯的可能性大大增加了。
當你理解了一個數學問題，要做一些適當的練習，把它轉化成你的長期記憶。你就可以基於這些記憶，去理解新的問題。否則，你要麼理解不了新的問題，要麼只能死記硬背公式。
順便說一下，學歷史也並不是死記硬背。學歷史當然需要很好的記憶力，但更需要的是思考、理解和洞察。
3、強調記憶的學習方法有什麼問題？
光從表面現象來看的話，亞洲教育……似乎把學生培養成了不假思索只會做題的機器。是的，亞洲教育體系下的學生只會快速地做某些數學題，但是對大多數人來說數學本身並不重要。重要的是數學發展了人們的心智。亞洲教育體系側重於訓練和磨練人們的心智。但這真的奏效嗎？這真的發展了學生們的心智以及增長了他們的智慧嗎?還是僅僅讓學生們有了依賴性，而只會做幾種特殊類型的題目呢？
這是亞洲教育體系所關心的最終的也是最重要的問題。對於知識點的反覆磨練是必要的。練習也是必要的。記憶更是必要的。但是光有這些還不夠。學生們還需要研究一些具有挑戰性的問題。
點評：這方面的批評聲音，已經很多了。
做題只是手段，做題不是目的。
4、為什麼數學上容易出現兩極分化？
在每種情境中，班級中的孩子們都自發地將班上的同學劃分等級，分成數學好的學生和數學差的學生，這個檔次的劃分又強化了這些學生們的自我覺察。任何一個組織都會建立各種等級制度，甚至連身高都會成為劃分等級的標準。被認為是最胖的孩子就是胖的，儘管他可能不是真的胖。被認為是最遲鈍的孩子就是遲鈍的，儘管他可能僅僅是比別人稍微遲鈍一點而已。被認為是最聰明的孩子就是聰明的，儘管他可能僅僅是比別人稍微聰明一點而已。微小的差別被人為地誇大了，組織內部也劃分出了不同的等級。
點評：標籤具有強大的力量，一個被認為「中等水平」的孩子，當他聽說連班裡面最好的學生都做不出來某道題時，他可以會象徵性的試幾下，然後放棄，即使這道題目本來他是可以做出來的。而一個被認為「最好」的孩子，當他聽說其他同學都做不出來某道題目時，他征服這道題目的渴望會比其他時候更迫切。
也許這兩個孩子在入學時只有5%的差距，但被打上標籤後，帶來了信心和行為上的巨大差別，會讓他們在畢業時產生極其明顯的差距。
所以，作者建議美國的家長們，讓孩子在假期時上一些補習班，這樣可以在開學時取得那5%的優勢。不幸的是，在中國，在補習班是一種極其普遍的事，以至於那些堅持不送孩子上補習班的家長會時刻感到焦慮和憂心忡忡。
太多的家長把孩子送入培訓機構，最後陷入了一種囚徒困境。大家都為了獲取那5%的優勢投入大量資源，但最終能獲得優勢的始終只有少部分人而已。
對於中國的家長來說，改變孩子的自我認知比上培訓班更加重要。
5、怎樣激勵孩子學習（數學）？
在一些例子中，孩子的家庭處於社會的中上階層，比較富裕。他已經（從父母身上）看到了優質教育的正面結果。他住在一個大房子，有車開，他享受的奢侈品完全來自於（父母所受的）教育的成功。就算這個世界上只有一個人相信教育的力量，那也應該是他。
這個孩子很聰明，而且記憶力很好，思維非常敏捷，甚至他注意力集中的時間也要高於平均水平。他並不是不會寫作業，也不是太年輕而不懂道理。……（但是）看上去他就是不想寫作業，所以沒寫。他的父母的誘惑與威脅全然不起作用。
為什麼這麼聰明而且明顯知道教育重要性的孩子卻不做作業呢?為什麼他不為了測驗而學習呢？是不是因為他目光短淺呢?是不是因為他不能權衡利弊呢？
令人驚奇的是，答案恰恰相反！這個孩子絕不是僅僅考慮短期利益的人，他在以他自己的方式考慮著長期利益。
無論他是勤奮的學習，還是從不翻開課本，都不會對他以後的生活方式有絲毫的影響。他總是可以享受生活。因此，他沒有長期的激勵促使他努力的學習，他為什麼要做作業呢？
父母如何改變他的這一想法呢？難道要為了改變他的想法而從一個豪宅搬到一個簡陋的窩棚中去嗎？難道要把皮革的沙發換成木板凳嗎？難道就再也不去豪華飯店，而天天吃快餐度日嗎？
成年人經常忘記哪些奢侈品是為孩子而買的。他們的奢侈品是那些電子遊戲、垃圾食品、電視以及自由。允許和自己的朋友們去看場電影往往比開什麼車帶他們去重要得多。
實際上，多數孩子的「奢侈品」其實根本不值什麼錢，可能父母比較窮的孩子所擁有的東西卻是富裕的孩子所夢寐以求的。在深夜三點之後還允許看電視對於許多孩子來講是一件可望而不可即的奢修品，而允許你的孩子晚點睡覺並不需要你多麼富有。
拿走孩子們的這些「奢侈品」，會給他們帶來努力學習的強大動力。一個缺乏這些「奢侈品」的孩子會努力學習以得到這些東西，這同時也就提高了他的生活質量。
點評：靠拿走孩子「奢侈品」的方法是否有效也許因人而異。如果家長們自己都放不下手機，又怎樣能讓孩子遠離電子遊戲呢？
但是就數學而言，它本來在激勵孩子學習方面有獨特優勢。
第一、每一個孩子都希望自己變得聰明。第二、人們能從數學問題中獲得巨大的樂趣。
我經常看見一些孩子為了一道數學題苦思憫想，最終在解決了這道問題時，露出的那種燦爛和得意的笑容。
數學的益處和樂趣應該讓人有感，這比家長和老師的苦苦說教要有用的多。
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