何新：「邏輯斯蒂」與數理哲學
何新：「邏輯斯蒂」與數理哲學
哲學思考(套裝上下卷)
作者: 何新
出版社: 時事出版社
出版年: 2010年01月
頁數: 575 頁
定價: 76.00元
裝幀: 平裝
ISBN: 9787802323247
1.新黑格爾主義不懂黑格爾
記者：儘管黑格爾在哲學史上被認為是一位大哲學家，但似乎人們並不承認他是一位真正意義的邏輯學家。我讀過羅素的《西方哲學史》，他對黑格爾的哲學，特別是邏輯學評價很低。在國外目前出版的邏輯史著作中，也沒有黑格爾邏輯學的一席地位。
何新：確實如此。但那是因為羅素根本沒有讀懂黑格爾。不但他不懂，他的那些弟子也不懂。他不但未讀懂黑格爾，也沒有真正讀懂康德。
羅素是通過布拉德雷的新黑格爾主義了解黑格爾的。布拉德雷的名著是《現象與實在》（Appearance and Reality）。我讀過他這本書。我的印象是，此人既不了解「現象」，也不了解「實在」，更不真懂黑格爾。（據說黑格爾晚年講過這樣一句話：「在我所有的門徒中，只有一個人可能理解了我。而他的理解也是錯誤的。」）
大陸理性主義哲學與英國的經驗主義哲學出自兩個非常不同的傳統。在康德和黑格爾時代就是對立和互相排斥的。
而羅素這位英格蘭貴族，（「他的家系在Burke 的《貴族名冊》中有著比較詳細的記載，其族譜中找不出一個平頭百姓。」（艾倫·伍德《羅素傳》，1963）。）頭腦中充滿了盎格魯撒克遜民族的自我優越感和傲慢的偏見。
記者：難道您認為羅素，維特根斯坦，卡爾納普，胡塞爾這些西方現代哲學家也並不理解黑格爾嗎？
何新：是的，我認為他們不理解。他們並沒有真正讀懂黑格爾的著作。
2.關於因果律的佯謬
記者：您能否提出一個具體的例子，證明這一點？
何新：關於羅素在哲學上的淺薄，我們可以用他對於「因果性」規律的解說作一個實例。
關於因果性的虛擬性問題，即對於因果關係是否具有客觀真理的意義這個問題，最早是休謨（D·Hume，1771-1776）提出的。休謨說：「因果之被人發現不是憑藉於理性，乃是憑藉於經驗。」（休謨《人類理解研究》，第30頁，商務印書館，1974年。）
休謨提出這一問題的目的，是要求認識論對因果規律性的普遍、必然性提供一種邏輯基礎。「我們要問，由經驗得出的一切結論其基礎何在？」（休謨《人類理解研究》，第32頁，商務印書館，1974年。）這個問題後來在康德和黑格爾的哲學中，實際上已經給予了解答。
羅素在他的邏輯哲學著作中也多次談到因果律的虛擬性問題。但是，他對整個西方哲學史的理解是非常表面性的，非常庸俗的。他並沒有真正理解休謨的問題，更沒有理解康德、黑格爾對問題的解答。他只是用一種很庸俗的論法膚淺地複述所謂歸納法的「佯謬」。
記者：什麼是「歸納」佯謬？
何新：休謨說：「在人心的種種思想或觀念之間，有一種聯繫的原則」（何新按：這種使觀念「聯繫的原則」實際就是邏輯）。「這種聯繫的原則有三種：（1）相似性（Resem Blance），（2）時空的排列（Comtiguity in Time or Place），（3）因果關係（Cause or Effect）。」
休謨認為，其中的因果關係是最難理解的，因為「每個結果都是和它的原因不一樣的事情。因此結果不能在原因中發現出來。因此，人們所想像的結果一定是完全任意的。」（休謨《人類理解研究》，商務版第30頁。）對此，羅素鸚鵡學舌似地說：
「如果說B『必然』跟隨著A，那麼這只是表示，依照某種普遍的準則（這一準則已被大量的觀察所證實，並且沒有在任何情況下被證明是假的），B類事件是緊跟A類事件出現的。如果說原因強迫結果出現，那麼，這個說法正如同人們反過來說結果強制原因出現一樣，會導致同樣的謬誤。」
據此羅素認為：歸納法無法證明因果律的必然性。他援用一個極庸俗的例子對此加以說明。他說：圈養的鵝每天看到飼養員來，都是對它餵食。因此它們可以用歸納法得出以下的因果論：凡飼養員來/鵝即得食。但這兩個事件是沒有必然性的。因為有一天，飼養員帶來的可能不是飼料，而是殺鵝的刀。
對於因果律的這種理解是極其膚淺的。羅素講的這兩個事件的關係，並不是真正的因果聯繫。人類對於因果性的確知，既不是建立在經驗的歸納法上，也不是建立在對於所謂「B事件緊跟A事件」這一先後關係的觀察上，而是建立在實踐上的。
3.因果規律與人類實踐
記者：對西方哲學史，我不是很熟。請您講得具體一點。
何新：一般來說，從洛克、休謨到羅素的英國經驗主義者，他們都喜歡侈談「經驗」這個概念。但他們所理解的「經驗」，僅僅局限在感性知覺的經驗上，他們似乎沒有意識到實踐也是經驗的一個重要基礎。實際上，因果關係並不是來自心理印象和觀念的主觀聯結（休謨的說法），而是來自人類的實踐。
真正的因果性並非分裂的兩個孤立現象或事件。真正的因果性是一個連續的過程。比如，人們說雞蛋是產生雛雞的原因。看起來蛋與雞似乎是兩個事件，但實際上，蛋孵化為雞，乃是同一個完整的過程，是一個事件。
農民春天種下西瓜種子，他深信這個「原因」在夏天將結出西瓜的果實。這一信念既是基於他對「種瓜得瓜」這一因果關係的確知，也是由於這一因果關係的可操作性——這種因果性可以在實踐中得到現實的、直接的驗證，因為種瓜真的得瓜，而不是得豆。這就是實踐的因果性。
所以，西瓜籽是新的西瓜的原因這一因果性，並不是「佯謬」，而是客觀真理。以康德的理論形式來表述這個命題，我們可以說「西瓜」這一結果已作為「先驗綜合命題」而存在於「西瓜種籽」這個概念之中了。
這個過程可以不斷地、無限地重複，這就是這一因果關係的普遍性。而導致這個過程發生的機制，則是由於西瓜種子細胞質內涵有西瓜的遺傳基因。這種內在的基因密碼，就是發生這一因果關係的必然性。
所以，「普遍性」與「必然性」也並不是人類理性的虛構（休謨的說法），而是確定的，並且可以實踐地把握的真實（真理）。
羅素搞不懂這一點。他承繼著休謨所提出的因果關係的歸納佯謬，連篇累牘地寫了許多關於其如何不可證明的廢話，充分表現出其哲學的淺薄。
4.西方運用諾貝爾獎建樹意識形態偶像
記者：然而許多人膜拜羅素是現代哲學的大師!他是否也得過諾貝爾獎？
何新：什麼大師？虛擬大師。
20世紀初羅素來過中國。當時胡適、張東蓀等西化派自由主義者奉他如聖人，而魯迅卻對他表示蔑視。魯迅是對的！
羅素一類所謂大師（不僅僅是羅素）的光環，是英國文化殖民主義有意培植塑造的一種對西方意識形態崇拜和迷信的產物。西方主流文化需要向世界，特別是向非西方世界推廣、推銷這種崇拜和迷信。西方需要非西方崇拜他們的精神和文化偶像，需要建樹西方文化對非西方文化的優越感。這不僅是一種商業性推銷，而且也是一種文化鬥爭，是從屬於由西方來主導全球化進程，以征服和主宰全世界的全球戰略鬥爭的這一總目標的。自19世紀以來，這一鬥爭已經進行了100多年，恐怕還會再進行100多年。
意識形態總是社會變革的先行者。21世紀世界所面臨的最大變局就是全球化運動。為了由西方來主導這一運動，西方不僅將全面利用其長期積累的資本優勢、科技和工業的優勢，而且也會充分地利用其意識形態——文化和價值的優勢，包括由西方主導和操縱的諾貝爾獎以及其他種種文化獎，目標都是塑造從屬於西方主流價值的偶像崇拜。
在這種意義上，什麼羅素、薩繆爾森之類的偽大師，什麼諾貝爾獎以及其他什麼金狗、金貓、金熊獎之類，都不過是西方主流文化用以塑造虛擬偶像的精神工具而已！他們要用羅素、諾貝爾一類的偶像，來置換中國人自己的例如毛澤東、馬克思、列寧、孔子、魯迅這樣的偶像。
中國人不知道從什麼時開始，在文化上竟然接受了要由西方人主宰文化評價和授獎。甚至以這種獎賞為榮，認為得到這種獎賞就是走向了世界，否則就是沒有走向世界。這是典型的殖民地半殖民地人們的文化自卑心態。
但是，我記得列寧《哲學筆記》中有這樣一句話：
「偉人們之所以偉大，是因為我們自己在跪著。站起來吧！」
——讓我們站起來吧。
5.羅素與邏輯斯蒂
記者：羅素畢竟是一位數學家、邏輯學家。
何新：羅素與懷特海合作寫過一部《數學原理》（Principle Mathematica）。而這部《數學原理》在數學史上或邏輯史上究竟有什麼意義呢？（《羅素傳》的作者A·Wood說：很少有人讀過《數學原理》一書，Schrdinger 說，他相信羅素和懷特海本人也不曾讀過此書。）實際只是一個自相矛盾的空殼而已。
記者：這樣講是否過於刻薄？
何新：羅素寫此書目的之一據說是為了解決悖論問題，解決數學邏輯基礎中的矛盾問題。但是他究竟是否解決了？根本沒有。
美國著名數學史家M·克萊因指出：「當羅素在20世紀初開始寫《數學原理》時，他曾以為邏輯公理都是真的。但在《數學原理》1937年的版本中，他放棄了這個看法。」（M·克萊因著《古今數學思想》第卷，第306頁）而最終哥德爾以所謂「不完備性定理」告訴人們，對數學及邏輯基礎實現無矛盾的公理化這個問題，根本是沒有解的，也是不可能解的。
因此羅素的這部「數學原理」不過是邏輯史上一個永遠不能轉動的「永動機」而已。
在《數學原理》中，羅素用去347頁英文的篇幅論證什麼是數字「1」，把「1」定義為 ｛x·a=i x｝。對此，法國著名數學家彭加勒（Poincaré）的評論是：「對於從來未聽說過什麼是數字1的人來說，這肯定是一個令人讚歎的定義。」
Poincaré還嘲笑羅素的「邏輯斯蒂」（又譯「邏輯主義」）說：「邏輯斯蒂的理論並不是什麼也不長的不毛之地，它只生長『矛盾"。」（M·克萊因著《古今數學思想》第4卷，第307頁）
你知道羅素如何為「數學」這門科學下定義嗎？
記者：不太清楚。
何新：他講了一個足以流傳千古的名言。他說：「數學就是這樣一門科學：在其中我們永遠不知道我們所講的是什麼，也永遠不會知道我們所講的是不是真的。」（M·克萊因著《古今數學思想》第4卷，第307頁）
實際上，這句話用來描述「數學」並不合適，但若用來描述他自己的《數學原理》，是再恰當不過了。
在邏輯學和數學的基礎理論方面，羅素根本沒有提供任何真正有意義的東西。
連《羅素傳》的作者也承認：
「羅素在《數學原理》一書里最後所採取的解決方法是訴諸一種邏輯類型理論，這種理論極為專門，並且很有爭議。很少有人讀過《數學原理》一書，有一次施羅丁格（Cchrdinger）對我說，他相信羅素和懷特海他們本人也不曾讀過此書。」
我研究過羅素的一些著作。我認為他那一套「邏輯斯蒂」，堪稱現代經院哲學、「繁瑣哲學」的標本。
記者：那麼您認為羅素的《數學原理》完全是沒有意義的東西？
何新：這並不是我個人的看法。讓我再引用一位著名數學史家對此書的評論吧。M·克萊因說：
「Russell和Whitehead的體系一直是未完成的，並且在很多細節上是不清楚的。把數學奠基在邏輯上的企圖，遭到Poincaré的刻薄嘲笑。Poincaré認為Russell的努力只是將數字化為無限的同義反覆。」
羅素一生並沒有統一的哲學觀點。「在他長期的哲學事業中，羅素的立場發生了多次變化。」（梯利/P·Thilly）（《西方哲學史》，梯利著，商務印書館出版，第481頁。「假如羅素是在跟一位主教談話，他會說：『我是個無神論者"。然而他也能輕鬆地這樣說：『我信奉任何宗教信條"。」（Gilbert Murray））羅素哲學的最終結論是哲學上的「不可知論」。「羅素希望除了邏輯原則之外摒棄一切先驗的知識原則，並且否定除了經驗的知識外我們還有任何知識。由此（再加上維特根斯坦的《邏輯哲學論》）產生了邏輯實證論（Logical Positivist doctrine）。」（引自《羅素傳》，艾倫·伍德著，中譯本第350頁。）
彭加勒（Poincaré ）在《科學與方法》（見Foundations of Science，480）中說：「對邏輯主義必須加以修正，但在修正之後，人們一點也不知道還會有什麼東西可以保留下來。」
6.羅素哲學十分淺薄
記者：那麼關於數理邏輯呢，您如何評論？
何新：20世紀以來，邏輯學中的最大偏見就是認為數學就是邏輯，而邏輯也就是數學哲學。19世紀40年代，G·布爾創建了邏輯代數系統，稍後，德國數學家、邏輯學家弗雷格發展了命題演算，引進了量詞和約束變元，又幾乎完備地發展了謂詞演算。並且從邏輯出發定義了自然數，推出一系列算術定理。
自布爾和弗雷格以來，現代邏輯發展的主流是沿著數學及其應用的方向前進的。數理哲學處在邏輯舞台的中心位置。
1931年，K·哥德爾證明了不完全性定理。1933年，A·塔斯基《形式語言中的真理概念》一文，定義了句子的真和假，建立了邏輯語義學；1937年，A·M·圖靈建立了圖靈機的形式理論。近年來，由於電子計算機的興起，包括演算法理論、遞歸函數、λ-換位演算、可計算性和一般能行過程在內的邏輯學的「算術部分」，被看成是高於其他部分的發展中的主流。
然而近二十年來可以看到邏輯學的各種非規範的理論分支正在蓬勃地、加速地增長，預示著邏輯學和數學正在發生分化。
在亞里士多德的古典體系中，邏輯學與語法學在許多方面是混合而一的。主體(人類邏輯)與客體的邏輯，也就是康德所謂後驗邏輯與先驗邏輯，也是合而為一的。而關於數學思維的邏輯，即純粹符號邏輯(無意義符號)與概念(有意義符號)思維的邏輯，也是混合為一的。
數理邏輯區分了它們之間的關係。並且建立了關於無意義句法的純粹符號邏輯。但是在基礎邏輯問題上，在認識論問題上，現代邏輯學與康德、黑格爾時代相比，非但沒有取得進步，反而是大大地後退了。
後來維也納學派的所謂分析哲學（維特根斯坦、卡爾納普），試圖以語言分析消解本體論和認識論的分析，使古典哲學的分析失去意義。但這正是現代哲學的淺薄所在。這些問題都照樣存在，它們是消解不了的。
邏輯實證主義在本質上也是一種不可知論。
記者：為什麼你認為邏輯實證論是一種不可知論？
何新：這種學說認為，人們只能知道可以觀察到的事實，除此之外一無所知。所以對傳統哲學所作的抽象討論乃是毫無意義的。
羅素說：「當我說看見一隻貓時，很可能有一隻貓。但我們在邏輯上不能超越『很可能"，因為我們知道有時說人們看見貓時，貓卻不在那裡，比如在夢中。」（羅素《對意義和真理的探索》）羅素書中充滿這種自以為聰明的廢話。
由此出發，邏輯實證論徹底否定全部哲學存在的意義。羅素說：
「我不得不痛苦地認為，被稱作是哲學的那些東西，其十分之九乃是欺人之談。唯一確實的部分就是邏輯學。但由於它是邏輯學，所以也就不是哲學。」
實際上，羅素從來沒有透徹理解一些哲學基本問題發生的根源。他是一個典型的驕矜自得而見解卻十分淺薄的英國爵士。
我讀過西方人寫作的許多種《西方哲學史》，我認為內容最淺薄而庸俗的就是羅素寫的那本。
7.現代數學哲學中的不可知論
記者：那麼羅素的數理邏輯與傳統邏輯是否存在某種連續性的關係？
何新：並不存在。羅素的《數學原理》是一部形式主義的數學著作，他試圖以邏輯的抽象形式重新定義算術。而這一努力是失敗的。他與懷特海所建立的新符號邏輯，可以說與傳統邏輯，即亞里士多德邏輯基本上沒有任何承繼性的關係或聯繫。
而在認識論和本體論的意義上，羅素所謂「反形而上學」的不可知論，也不過是重步康德「人類理性批判」的後塵。只是與康德相比，羅素貧乏的哲學要淺薄得多。
記者：都是不可知論，難道也有深刻與淺薄之分嗎？
何新：當然。一個傻瓜說我認為世界不可知，與康德所說的不可知，肯定涵義不同。
康德所提出和試圖回答的問題是：人類對世界進行認知何以是可能的?並且在何等限度下是不可能的?康德認為，人類理性的工具和方法是邏輯。但是在先驗的邏輯形式中，蘊涵著發生邏輯矛盾從而導致無意義、無結果思辯和爭辯(即辯證矛盾)的必然性。
我們之所以說康德的這一結論是深刻的，是因為這一結論在20世紀，實際上以哥德爾「不完備性定理」的形式，在數理哲學基礎中被現代數理邏輯所重新確認。
8.關於哥德爾定理
記者：什麼是哥德爾「不完備性定理」？
何新：數學邏輯學家哥德爾（K-Gdel，1906-1976）在1931年證明：
「包含著通常邏輯和數論的一個系統的無矛盾性是不可能確立的，如果人們只限於運用在數論系統中可以形式表出的概念和方法，實際這就是說，數論的相容性用元數學所容許的狹義邏輯是不可能確立的。」
［Gdel的不完備性定理（incompleteness theorem）所表述的是，如果一個足以容納數論的形式理論T是無矛盾的，並且算術的形式系統的公理都是T的公理或定理，那末T就是不完備的。這就是說，有這樣一個數論的語句S，使S和非S都不是這個理論的一個定理。因為S或非S總有一個是真的；於是就有了一個數論的語句，它是真的又是不可證明的，這個結果適用於Russell-Whitehead 系統，Zermelo-Fraenkel系統，以及Hilbert的數論公理化。］（引自M·克萊因《古今數學思想》第4卷，第320頁）
哥德爾定理從根基上推翻了羅素的《數學原理》試圖以邏輯斯蒂構建數學公理系統的意義。
對於哥德爾的這一定理，數學家魏爾（Weyl）曾講過一句十分幽默的話：
「上帝告訴我們數學是不容矛盾的。但魔鬼告訴我們這種不矛盾性是不能被證明的。」（1944）
現代數學哲學的這種理解，與康德的哲學的不可知論，可以說是驚人相似。
9.先驗的抽象時空並不存在
記者：但是康德哲學主要是一種認識論。
何新：它也是方法論。康德認為，除了依靠被直觀世界(感性知覺)所決定的經驗方法外，人類無法依靠理性的工具認知世界。特別是人類無法面對和洞察不可見的世界例如未來世界，三維以外的多維世界。
記者：但是，康德認為存在著先驗的絕對時空形式。
何新：關於這一點，許多人誤解了康德（包括羅素）。康德所謂先驗時空形式，指的是一種心理的存在，主體意識的存在，而不是客觀的存在。在康德看來，人類對外界的感知，是通過內在於人性的時空抽象而實現的。
康德說：我的工作是檢測人類的認識工具。他認為，這種工具在結構上存在問題。就是一離開感性的手段，以純理性作演繹推論，就會生成出自相矛盾的理論。這就是康德哲學著名的「人類理性佯謬」。
康德認為，對於這些相互矛盾的理論，理性既無法證明它的真，也無法證明它的偽。因此，謹慎的辦法是，都不要相信它們。
所以康德說：我們應當牢牢守住感性知覺的經驗範圍，不要讓思維和理性越出這個可以被檢測的範圍。否則，我們會陷入無邊無際的矛盾和爭論，永遠找不到真理。這就是康德「不可知論」的真實涵義。
20世紀的數學哲學和科學哲學，以及所謂「邏輯實證法」，在這一點上並沒有比康德知道得更多。
記者：數學一向被認為是具有精確性和必然性的科學。為什麼數學哲學也會陷入不可知論？
何新：在現代數學中，牛頓的絕對時空概念已被推翻。非歐幾何的建立導致對數學認識論--直觀反映論的衝擊。數學哲學家認為：
「那些在真實世界裡沒有直接對應物的數理概念被引進並逐步被接受，迫使人們承認數學是一種人為的並且多少帶有任意性的創造物，而不僅僅是從自然界里引導出來的本質上是真實事物的一種抽象。」（引自M ·克萊因《古今數學思想》第4卷）
隨著這種認識的深化，帶來了意義更加深遠的發現——數學並不是關於自然的映現式真理。特別是20世紀初集合論悖論的發現，導致了所謂「第三次數學危機」。
10.數學史上的三次危機
記者：什麼是「數學危機」？
何新：數學史上發生過三次關於理論和方法的危機。都是由於在數學的基礎概念中出現了矛盾。
第一次是在希臘時代，畢達哥拉斯學派發現了「無理數」，所謂「無理數」，在希臘時代叫「Alogon」，即荒謬之數，不可理解之數。它引起了數理概念的第一次定義危機。（據說發現無理數的人由於這一發現而被丟進大海里。）
第二次是在17世紀，由於微積分的發明而發現了關於無窮小概念（動態）與其極限概念「零」的關係的矛盾，而發生了概念危機。
第三次是19世紀末20世紀初發生了集合論的悖論，引發了關於數學邏輯基礎可靠性的問題。這種悖論最簡略的表述形式之一是，在涉及無限的集合時，整體與部分一樣多。例如，自然數集合（1，2，3，4，……）它包含了偶數集合（2，4，……）與奇數集合（1，3，……）。但是事實上有多少自然數就有多少偶數，同時也有多少奇數。整體與部分同樣多（伽利略悖論/Burall-Forti悖論）。有一位美國數學家（T·Damtzig）說：
「一部分可能有全體之勢，這句話與其說像數學，還不如說像神學。」（《數：科學的語言》，丹齊克，第178頁）
這猶如說父親與兒子年齡一樣大。這是一個荒謬的矛盾，導致集合論的邏輯基礎成為問題。
創建集合論的Cantor在1899年給Dedekind的一封信中曾指出，人們要想不陷於矛盾的話，就不能談論由一切集合所成的集合。而這也就是後來的Russell的悖論的內容（《數學原理》（The Principles of Mathematics），1903，P.101）。（還有諸如以下一些問題：由一切人組成的類並不是一個人。但由一切概念組成的類自身也是一個概念。由一切圖書館組成的類是一個圖書館的概念。由一切基數大於1的集合組成的類也是這樣一個集合。因此，有一些類不是它們自己的元素，而有一些則是它們自己的元素。這個對於類的描述，包括了一切類，並且這兩種類集是互相排斥的等等，都是悖論。）
數學史家M·克萊因描述第三次數學危機的發生過程指出：
「二十世紀數學中最為深入的活動，是關於數學邏輯基礎的探討。在這個世紀的前期，首先是矛盾的發現，委婉地被稱為悖論，在集合論中尤為突出。這些矛盾的發現顯然深深地擾亂了數學家，另外一個逐漸被認識到並在本世紀初顯露出來的，是數學的相容性（consistency）問題。
在十九世紀後期，有一些人已經開始重新考慮數學的基礎，特別是數學對邏輯的關係。在1900年以前已經冒了煙的爭論，經悖論和相容性問題加上燃料，就爆發成大火。結果，全部數學的邏輯基礎，就成為極其嚴重和被普遍關心的問題。」（《古今數學思想》，第4卷，第289頁）
此即第三次數學危機，也是數學史上最嚴重的一次危機。
這一危機不僅震撼了數學體系的真理基礎，而且震撼了傳統邏輯關於思維不矛盾的基本信念。這個問題至今並未解決。
11.1+1=？
記者：您所談到的數學危機令我震憾。在人們的心目中，數學是一切科學的基礎，是邏輯嚴密而且具有精確性的唯一嚴密科學。
何新：真正的精確性也許只有在初等數學中才能得到。即1+1=2 。但實際上，就連這個等式也並非絕對無可爭議。例如把兩桶水注入到一個大桶中，在抽象的意義，結果就是1+1=1 。
記者：有人會說，前面兩個「1」與後面的「1」在質上不同。
何新：然而「1」的本質是什麼呢？它不僅是數量的基本單位，有時也是一種「質」。我可以再舉一個例子來說明。
以一個不知大小的數進行運算，可以得到確定的結果。如：
X=？ X/X=1 根號2=？ 根號2/根號2=1
我們不必知道「X」是什麼數，「2」的數值是無理數，也是沒有確定值的。但我們以之作相除運算的結果卻可以很確定，結果就是「1」。為什麼？
在這裡，1並不是一個「數」，而是指示一種關係，即某物或某量，無論其多麼大或多麼小，其與自身的比例總是同等大小，這是一種「質」的相同。這種關係就是「1」。這樣考慮的「1」，實際已推翻了羅素、懷特海在《數學原理》中對於「1」的定義。
12.數理哲學
記者：也就是說，現代數學的一些主要分支，已經發展得高度抽象，而遠離了實際的運算階段。
何新：數學發展已經過三大階段：
（1）算術和初等幾何（具體的形量關係）階段。
（2）代數（抽象數量關係）和抽象幾何的階段。所謂計算的精密和精確性，應當被認為是初等數學階段的事。代數學已經是與含義無關的一種邏輯抽象。因為：「顯然我們可以用我們願意用的任何符號，並按我們選定的任何法則去處理它們」。懷特海（Whitehead）指出，符號的這種任意處理可以是隨便的，而只有那些能被賦予某種意義的或具有某種應用的解釋才是重要的。
（3）在19世紀末20世紀以來的現代數學階段，數學已經發展為數理哲學，已成為一種涉及抽象概念之間的邏輯關係的邏輯哲學，成為一種符號模型系統，遠遠離異於所謂計算以及精密性了。
M·克萊因指出：
「大約到1850年以後，人們接受了這樣一種觀點，即數學能夠引進並研究一些相當任意的概念和理論，或者像四元數那樣，它們沒有直接的物理解釋，但卻是有用的；或者像n維幾何那樣，它們滿足一種普遍性的要求。」
「Cantor為了捍衛他所創造的超限數，說它是一種存在的、真正確定的量時，主張數學和其他領域的區別在於它自由地創造自已的概念，而無需顧及是否實際存在。1883年他說：『數學在它自身的發展中完全是自由的，對它的概念的限制只在於：必須是無矛盾的並且和先前由確切定義引進的要領相協調。數學的本質就在於它的自由。』」
「Whitehead 在他的《一般代數》中說：代數變換法則的合法性是不依賴於算術的。如果有依賴的話，那麼顯然可見，代數表達式一旦在算術上不可理解，則關於它們的所有法則就必定失去合法性。代數法則雖是由算術提供的，但卻不依賴於它。代數法則完全依靠約定，用以表達某些把符號分組的模式必須被認為是等同的。這就給形成代數符號的記號指定了一定的性質。」
「那種在真實世界裡沒有直接對應物的概念之被引進並逐步被接受，確實迫使人們承認數學是一種人為的並且多少帶有任意性的創造物，而不僅僅是從自然界里引導出來的本質上是真實事物的一種理想化。但是隨著這種認識的深化，帶來了更加意義深遠的發現——數學並不是關於自然的一堆真理。」（《古今數學思想》，M·克萊因著，第4卷，第280 頁）
13.數學崇拜沒有根據
記者：但是，人們通常仍然持有一種觀點，認為數學是科學中最嚴密最成熟的體系。
何新：對此可以稱此為「數學崇拜」。但是，研究過數學史的人，會知道這種崇拜是沒有多少根據的。
至少近2500年來，數學是人類智力訓練和精神遺產的一個有機組成部分。然而在這漫長的年代中，關於數學的本質始終眾說紛紜，對數學至今並無一個公認的定義。
在古希臘，畢達哥拉斯學派和柏拉圖都注意到，演繹推理所得的結果跟觀察的結果或歸納推理所得的結果往往符合。他們無法用別的方法去說明這種符合，於是就認為，數學乃是對於自然界和宇宙中內在的終極、永恆的實在的研究，而並非邏輯的一個分支或科學、技術的一種工具。他們認為對數學原理的認識，必定先於任何對經驗的確切解釋。畢達哥拉斯有一個名言：萬物皆數。還有據傳為柏拉圖的箴言：上帝常以幾何學家自居。
流行於中世紀的經院派觀點認為宇宙是「井然有序」而易於理解的。在文藝復興時代，隨著柏拉圖觀點的再度風靡，促成了下述信念的復活：數學是以某種方式獨立於且先於經驗的直觀的知識。這種觀念表現在庫薩的尼古拉、開普勒和伽利略的思想中，在某種程度上也表現在達·芬奇、萊布尼茲、康德的思想中。
14.現代數學成為虛擬的邏輯系統
記者：就是說，數學運算的結果似乎是先驗性的，而非經驗性的。
何新：18世紀在科學和數學問題中應用了微積分所取得的輝煌的成功，使人們把注意力首先放在運算，而不放在研究數學的基礎上。但到19世紀，人們力圖為新的無限小分析中的有關概念尋找一個令人滿意的基礎。
這種努力，帶來了一種批判的態度。數學的嚴格性被提上了日程；人們發現，歐幾里得的公設並非如康德所主張的那樣是絕對的綜合判斷，而只不過是一些假設。這種作為推理根據的前提，可以隨心所欲地自由選取——唯一的要求是它們彼此之間相協調——哪怕它們與感覺上顯而易見的事實相矛盾。
在20世紀的數理哲學中，認為數學是量的科學或者空間與數的科學的這種舊觀念，在很大程度上銷聲匿跡了。（但在中國學術界，這種陳舊觀念仍很流行。）人們意識到，樸素的空間直觀會導致矛盾。
否定牛頓的絕對時空觀，也就否定了康德關於時空的所謂「內在直觀公設」。正是由於對數學公理基礎無矛盾性所作的全面邏輯和哲學審視，導致了20世紀初所說「第三次數學危機」。羅素在出版《數學原理》第一卷時信心勃勃，而在《數學原理》的後續一版中（1937），則陷入懷疑論，認為數學是「我們既不知道自己在講些什麼，也不知道講得對不對的一門科學」。
而在這種意義上，數學就成為一個虛擬的概念系統。著名數學家魏爾（Weyl）對數學的現狀作了這樣的描述：
「關於數學最終基礎和最終意義的問題還是沒有解決；我們不知道向哪裡去找它的最後解答，或者根本就不能期望會有一個最後的客觀回答。『數學化"（Mathematizing）很可能完全出自人的一種自由創造性活動，就像語言或音樂一樣，具有原始的獨創性，它的歷史性絕不容許完全的客觀的有理化。』」（轉引自《古今數學思想》第4卷第324頁。這也是克萊因此書的最終結語。）
因此，到19世紀末盛行的看法是：「數學裡的一切公理都是任意的。公理只不過是導出結論的推理的基礎。既然公理不再是關於包含在它裡面的概念的真理，於是也就不用去管這些概念的物理意義了。當公理和實在之間產生某種聯繫的時候，這種物理意義至多只能是發現（真理）的嚮導。即使是從物理世界抽象出來的概念也是這樣。」
「到1900年，數學已經從實在性中分裂出來了；它已經明顯地而且無可挽回地失去了它對自然界真理的所有權，因而變成了一些沒有意義的東西的任意公理的必然推論的隨從了。」（《古今數學思想》，M·克萊因著）
【註：本文選自何新《哲學思考》，時事出版社，2010年】
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