機器視覺-圖像採集之鏡頭原理詳述
上期我們一起學習了光源相關的知識，知道了怎麼選擇光源，鏈接如下：
鏡頭是一種光學設備，用於聚集光線在攝像機內部成像。鏡頭的作用是產生銳利的圖像，以得到被測物的細節，這一期我們將一起學習使用不同鏡頭產生不同的成像幾何，以及鏡頭像差是如何產生的。希望通過本期學習，我們能夠掌握如何選擇鏡頭以及像差產生的原因。
作為一個機器視覺演算法人員，來介紹光學系統方面的知識，有些地方理解起來還是有些難度的，小編已經再旁邊放了幾摞磚，歡迎大家來拍。希望能夠和大家一起交流，共同進步。
以下是本期主要內容：
高斯光學
什麼是景深
遠心鏡頭
鏡頭的像差
本文主要從以上四個方面進行系統的介紹圖像採集的鏡頭相關知識。
一. 高斯光學
1.1 針孔攝像機
我們忽略光的波的特性，可以將光看做在同類介質中直線傳播的光線，在介紹高斯光學模型之前我們先看下針孔攝像機的成像模型。針孔攝像機模型有助於我們理解高斯光學模型，如下圖：
左端的物體在右端像平面上成像，其中像平面相當於上圖盒子中的一個面，在這個面的對面是針孔所在的面，針孔相當於是投影中心。針孔攝像機所成的像為物體的倒像。
從上圖相似三角形可以得到像高：
其中h為物體高度，s為物體到投影中心的距離，c為像平面到投影中心的距離，常稱為攝像機常數或者主距。
針孔攝像機模型基本可以滿足通過攝像機標定來測量地球坐標系中的被測物的要求，但是這種簡單模型不能反映真實的情況，由於針孔太小，只有極小量的光線能夠通過小孔達到像平面，因此必須採用非常長時間的曝光時間以得到亮度足夠的圖像。因此真正的攝像機使用鏡頭來收集光線。
1.2 高斯光學模型
我們知道鏡頭是基於光的折射原理構成的，如下圖，α1和α2分別為入射角和折射角，n1和n2分別表示兩種介質。
根據折射定律有：
當入射角很小的情況下，可以將α代替sinα，即有：
根據上面近軸近似原理，為便於一般地了解光學系統的成像性質和規律，在研究近軸區成像規律的基礎上建立了理想光學系統的光學模型就稱為高斯光學模型。
高斯光學認為同心光束通過由球面透鏡構成的鏡頭後又匯聚到一點。高斯光學是理想化的光學系統，所有與高斯光學的背離均稱作像差。光學系統設計的目標就是使得鏡頭的結構在滿足高斯光學基礎上使入射角足夠大，以滿足實際應用。
上圖即為經典的高斯光學模型，其中同心光束通過透鏡後匯聚到一點。我們來看一下厚透鏡的原理。
1.3 厚透鏡成像原理
從上圖可以看出位於鏡頭前方的物體在鏡頭後成像。鏡頭中有兩個焦點F和F"，a和a"分別為物距和相距，f=-f"，f"為鏡頭焦距，上圖水平虛線為光軸，節點N和N"為光軸與平面P和P』的交點。
厚透鏡的成像法則如下：
鏡頭前平行於光軸的光線過F"
過F點的光線通過鏡頭後平行於光軸
過N點的光線也會過N"點，並且通過之前與通過之後和光軸的夾角不變
從上圖看出，三條光線聚於一點，由於像的幾何尺寸完全取決於F,F",N和N"，所以這四個點又稱作鏡頭的基本要素。
利用針孔攝像機的原理公式以及上圖，我們可以推出如下公式（如有疑問請進入社區進行討論）：
從上公式可以看出當物距u發生變化時，通過鏡頭的光線將相交於何處，也就是說物體將在何處成像。比如當物距u變大的情況下，由於f"不變，所以相距變小，當物距為不同值的時候，得到的像的情況見下表：
1.4 真實中的鏡頭
其實真實的鏡頭系統遠比上面的討論的厚透鏡複雜的多。為了減少像差，通常鏡頭由多個球心位於光軸上的光學鏡片組成，如下圖是一個真實鏡頭的例子，儘管真實鏡頭更加複雜，一個鏡頭系統仍可以看作是一個厚鏡頭，因此也可以用它的主要元素來描述：
其中，
D為系統光闌，控制可以到達像平面光線的多少。其中最大程度限制通光量的光闌稱作鏡頭的孔徑光闌。
ENP為入瞳，決定鏡頭入口可以接受光線的面積。
EXP為出瞳，是孔徑光闌被其後面的光學系統在像方所成的像。
另外還有一些重要的參數，如：光瞳放大率，出射光瞳直徑和入射光瞳直徑之比等。
二. 什麼是景深
到目前為止，我們討論的都是基於所有光線聚於一點。這個的前提是，被測物體與像平面平行。但是現實中，由於拍攝物體是立體的，所以立體物體並不能夠完全聚焦。在進行拍攝時，調節相機鏡頭，使距離相機一定距離的景物清晰成像的過程，叫做對焦，那個景物所在的點，稱為對焦點，因為「清晰」並不是一種絕對的概念，所以，對焦點前（靠近相機）、後一定距離內的景物的成像都可以是清晰的，這個前後範圍的總和，就叫做景深，意思是只要在這個範圍之內的景物，都能清楚地拍攝到。
上面我們通俗的理解了一下什麼是景深，接下來，我們從成像原理出發，了解下景深的成像原理。我們知道物距越大，像距越小，物距越小，像距越大。因此，對於三個不同物距的物體在同一個焦距的情況下得到的像距是不同的，如下圖：
如上圖，對於物距為s的物體，該鏡頭能夠清晰聚焦於像平面上，而對於物距為sf和sn的物體分別聚焦到了像平面前和後，使其成像模糊。通常情況下，希望即使被測物體所在的平面不完全與像平面平行的時候，也能得到銳利的圖像。由於用於捕捉圖像的感測器每個像素尺寸有一定的物理大小，因此如果模糊造成的彌散圓斑大小與像素尺寸差不多的時候，也可以認為是聚焦的。目前感測器尺寸的像素尺寸在5~10μm之間。
那麼影響景深的主要因素都有哪些呢？
(1). 鏡頭光圈：
光圈越大，景深越淺；光圈越小，景深越深；
(2). 鏡頭焦距：
鏡頭焦距越長，景深越淺；焦距越短，景深越深；
(3). 主體與背景距離：
距離越遠，景深越深；距離越近，景深越淺；
(4). 主體與鏡頭距離：
距離越遠，景深越淺；距離越近（不能小於最小拍攝距離），景深越深。
通過了解景深，我們知道，不同物距的物體在像平面上會造成不同程度的模糊，也就是有一定的景深。但是我們從前面的知識還知道不同物距的物體在像平面上的成像大小不一致。同一個物體，物距越大，成像越小，而物距越小成像越大。然而這一特性，成為許多測量應用中的一大障礙，因為在測量行業，我們希望不同物距的相同物體通過鏡頭後的成像大小一致。隨著技術的發展，遠心鏡頭的出現，成功解決了這一問題。
三. 遠心鏡頭
那麼究竟什麼是遠心鏡頭呢？
遠心鏡頭（Telecentric lens），主要是為糾正傳統工業鏡頭視差而設計，它可以在一定的物距範圍內，使得到的圖像放大倍率不會變化，這對被測物不在同一物面上的情況是非常重要的應用。簡單的說這種鏡頭拍出來的圖像沒有近大遠小關係。遠心鏡頭由於其特有的平行光路設計一直為對鏡頭畸變要求很高的機器視覺應用場合所青睞。
其實遠心鏡頭就是普通鏡頭和前面講的針孔攝像機的結合。也就是通過加一個孔徑光闌使得通過鏡頭系統的光線近似與光軸平行，遠心鏡頭又分為物方遠心鏡頭、像方遠心鏡頭和雙側遠心鏡頭，我們一起看一下遠心鏡頭的成像原理：
3.1 物方遠心鏡頭
物方遠心光路中，孔徑光闌位於像方焦平面上，光闌也是出瞳，入瞳位於物方無限遠處。如下圖所示，物體 AB 各點上發出的光線經物鏡後，其物方主光線均平行於光軸。如果物體 AB 位於CCD 接收面 M1M2 的共軛位置處，則 CCD 接收面上像的長度為 M1M2。如果物體沿光軸移動到 A1B1 處，則像面 A1』B1』偏離 CCD 接收面，A1』和 B1』點在 CCD接收面上投影為一個彌散斑，其中心仍是 M1 和 M2 點，據此測出的像大小仍為M1M2，這樣就消除了物距變化帶來的測量誤差。在孔徑光闌處加上光學濾波器，使出射的光線只有平行於光軸的光通過，在 CCD 接收面上接收到的就是準確的像長，不會因為物體沿光軸移動帶來測量誤差。
物方遠心光路是將孔徑光闌放置在光學系統的像方焦平面上，物方主光線平行於光軸主光線的會聚中心位於物方無限遠，稱之為：物方遠心光路。其作用為：可以消除物方由於調焦不準確帶來的，讀數誤差。
3.2 像方遠心鏡頭
像方遠心光路是將孔徑光闌放置在光學系統的物方焦平面上，像方主光線平行於光軸主光線的會聚中心位於像方無限遠，稱之為：像方遠心光路。其作用為：可以消除像方調焦不準引入的測量誤差。光路示意圖如下：
3.3 兩側遠心鏡頭
綜合了物方/像方遠心的雙重作用。主要用於視覺測量檢測領域。該遠心鏡頭可以看做是在物方遠心鏡頭的孔徑光闌後面再加上第二個鏡頭系統，使得第一個鏡頭的像方焦點F1"和第二個鏡頭的物方焦點F2重合，光路示意圖如下：
四. 鏡頭的像差
在前面我們講的都是同心光束通過鏡頭後會聚一點，但是實際中通常不會發生這種情況，這樣就會產生像差。鏡頭的單色像差一般分五種，它們分別是影響成像清晰度的球差、彗差、象散、場曲，以及影響物象相似度的畸變。
4.1 球差--是由於鏡頭的透鏡球面上各點的聚光能力不同而引起的
產生原理：從無窮遠處來的平行光線在理論上應該會聚在焦點上。但是由於近軸光線與遠軸光線的會聚點並不一致，會聚光線並不是形成一個點，而是一個以光軸為中心對稱的彌散圓，這種像差就稱為球差（注意與景深的區別）。球差的存在引起了成像的模糊，而從下圖可以看出，這種模糊是與光圈的大小有關的。
改善方法：光線條件允許的情況下，可以考慮使用較小的光圈來減小球差的影響。
4.2 彗差--是在軸外成像時產生的一種像差
產生原理：從光軸外的某一點向鏡頭髮出一束平行光線，經光學系統後，在像平面上並不是成一個點的像，而是形成不對稱的彌散光斑，這種彌散光斑的形狀象彗星，從中心到邊緣拖著一個由細到粗的尾巴，首端明亮、清晰，尾端寬大、暗淡、模糊。這種軸外光束引起的像差就稱為彗差。
改善方法：彗差的大小既與光圈有關，也與視場有關。我們在拍攝時也可以採取適當採用較小的光圈來減少彗差對成象的影響。
4.3 像散--一種軸外像差
產生原理：與彗差不同，像散僅僅與視場有關。由於軸外光束的不對稱性，使得軸外點的子午細光束（即鏡頭的直徑方向）的會聚點與弧矢細光束（鏡頭的園弧方向）的會聚點位置不同，這種現象稱為像散。像散可以對照眼睛的散光來理解。帶有散光的眼睛，實際上是在兩個方向上的晶狀體曲率不一致，造成看到的點彌散成了一條短線。
改善方法：像散也使得軸外成像的像質大大地下降。像散的大小隻與視場角有關，與孔徑是沒有關係的。即使光圈開得很小，在子午和弧矢方向仍然無法同時獲得非常清晰的像。在廣角鏡頭中，由於視場角比較大，像散現象就比較明顯。我們在拍攝的時候應該盡量使被攝體處於畫面的中心。這好象與構圖要求不把主要表現對象放在圖面正中央有些衝突，如何掌握就要看實際情況了。
4.4 場曲--一種與孔徑無關的像差
產生原理：當拍攝垂直於光軸的平面上的物時，經過鏡頭所成的像並不在一個像平面內，而是在以光軸為對稱的一個彎曲表面上，這種成像的缺陷就是場曲。
改善方法：場曲是一種與孔徑無關的像差。靠減小光圈並不能改善因場曲帶來的模糊。因此在某些專用照相機中，故意將底片處於弧形位置，以減少場曲的影響。由於廣角鏡頭的場曲比一般鏡頭大，在拍團體照（經常使用廣角鏡頭）時採用略帶圓弧形的站位排列，就是為了提高邊緣視場的象質。
4.5 畸變--是指物所成的像在形狀上的變形
產生原理：是指物所成的像在形狀上的變形，畸變並不會影響像的清晰度，而隻影響像與物的相似性。由於畸變的存在，物方的一條直線在像方就變成了一條曲線，造成像的失真。畸變可分為枕型畸變和桶型畸變兩種。造成畸變的根本原因是鏡頭像場中央區的橫向放大率與邊緣區的橫向放大率不一致。如下圖所示，如果邊緣放大率大於中央放大率就產生枕型畸變，反之，則產生桶型畸變。
改善方法：畸變與鏡頭的光圈F數大小無關，只與鏡頭的視場有關。因此，廣角鏡頭的畸變一般都大於標準鏡頭或長焦鏡頭。無論是哪一種鏡頭，哪一種畸變，縮小光圈並都不能改善畸變。
上面所有的像差都是單色光像差，如果被測物被白光燈多波長光照明，那麼由於不同色彩的光線波長也不一樣，通過鏡頭的折射率也會變得不同，導致焦點所集結的點錯開，就會產生色差。當出現色差後，成像的性能不但會變差，就連原本不該有的地方都會出現色彩。色像差分為「位置色像差」與「倍率色像差」兩種。使用長焦鏡頭時可明顯發現位置色像差；使用廣角鏡頭時可以明顯發現倍率色像差。如下圖：
改善色像差的方法之一是要同時使用性質（折射率等）不同的玻璃鏡片；另外一種是利用光線分散率非常少的特殊玻璃片。特殊低色散玻璃（ED鏡片）以及螢石鏡片等都是特殊鏡片。隨著工藝的發展，非球面鏡片、納米鍍膜等都使色像差得到了一定的改善，相信未來技術的發展也會使成像更趨於理想的狀態。
五. 本期小結
本文從針孔攝像機入手，我們一起學習了高斯光學模型，厚透鏡成像原理以及真實的鏡頭組成。接下來基於成像原理學習了景深形成的原理以及影響景深的主要因素。進而學習了三種常見的遠心鏡頭的光路原理及其作用，在文章最後，我們又一起學習了六種常見的像差相關知識。希望大家能從本文了解到鏡頭的相關知識。
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