物理學最難的方程之一，解答獎金達100萬美元

物理學界最難的方程，描繪的竟是看似簡單的日常現象。這個賞金高達百萬美元的納維-斯托克斯方程中，隱藏著哪些關於流體的奧秘？

撰文 | Kevin Hartnett

翻譯 | 潘磊

審校 | 張克文 吳非

物理學中包含了大量公式，它們描繪著物理學的種種現象，從宏觀時空的延展到微觀光子的碰撞。在所有這些公式中，有一組公式在數學上也極具挑戰性，甚至被美國克雷數學研究所選作七個「千禧年大獎難題」之一，與龐加萊猜想、P=NP？等數學界的頂級難題並列，解決該問題的獎金高達100萬美元。而這個物理界最難的公式，就是用於描述流體運動的納維-斯托克斯方程。

最近，一項關於納維-斯托克斯方程的最新研究得以發表。某種程度上，新的研究成果說明攻克這項千禧年大獎難題比預想的還要困難。為什麼用數學理論闡明這組方程是如此困難，甚至相比之下，用於描述奇特黑洞的愛因斯坦場方程都顯得更容易一些？

湍流，就是答案。這是一種再常見不過的現象。無論是在3萬英尺高空飛行時顛簸的氣流，還是家裡浴缸出水口形成的漩渦，本質都是湍流。然而，熟悉的湍流卻是物理世界中最難以理解的部分之一。

一條平穩流動的河流，是一個典型的無湍流體系，河流的每一部分以相同的速度運動。湍流則打破了這一規律，使得水流不同部分的運動方向和運動速率都不相同。物理學家將湍流的形成描述為：首先，平穩流動中出現一個渦流，這個渦流中會形成更多小渦流，小渦流進一步分化，使得流體被分解成許多離散的部分，在各自運動方向上與其他部分相作用。

科學家們希望理解的是，平流如何一步步瓦解成為湍流、已產生湍流的體系之後的形狀是怎樣演變的。但千禧年大獎懸賞的是更為簡潔的問題：證明方程的解總是存在。換句話說，這組方程能否描述任何流體，在任何起始條件下，未來任一時間點的情況。

「第一步就是要儘力證明這些方程可以產生一些解，」來自普林斯頓大學的數學家Charlie Fefferman說道，「儘管這並不能讓我們真正理解流體的行為，但不這樣做，就完全無法入手這個難題。」

如何證明那些解存在呢？首先可以考慮方程在什麼條件下會「無解」。納維-斯托克斯方程組涉及流速、壓力等物理量的變化。數學家們關心的這樣的情況：你在運算這組方程，經過有限的時間，系統中出現一個以無限速度運動的粒子。那樣就會很麻煩：對於一個無限大的量，我們無法計算出它的變化。數學家們把這種情況稱為「發散」（blowup）。在「發散」的情況下，方程失效，解也就不復存在。

納維-斯托克斯方程

證明「發散」的情況不會發生（或者說方程解總是存在），等同於證明流體中任何粒子的最大運動速率，被限制在某一有限的數值之下。相關物理量中，最重要的量是流體中的動能。

當我們用納維-斯托克斯方程對流體建模，流體會具有一定初始能量。但是在湍流中，這些能量會聚集起來。原本均勻分散在流體中的動能，可能會聚集在任意小的渦流中，那些渦流中的粒子在理論上可以被加速到無限大的速度。

「當我的研究進入越來越小的尺度，動能對於方程解的控制作用則越來越弱。解可以是任意的，但我不知道如何去限制它。」 普林斯頓大學的Vlad Vicol說到，他和Tristan Buckmaster合作完成了有關納維-斯托克斯方程的最新工作。

根據方程失效的尺度，數學家們對像納維-斯托克斯這樣的偏微分方程進行分類。納維-斯托克斯方程就處於分類譜系的極端。這組方程中的數學難度，某種意義上精確地反映出其所描述湍流體系的複雜程度。

「在數學角度看，如果你將某一點放大，那麼就會失去解的部分信息，」Vicol解釋說，「但是湍流的研究恰恰就是這樣——動能從宏觀傳遞向越來越小的尺度。所以，湍流的研究要求你不斷地放大。

當談及物理背後的數學公式，我們很自然地會想到：這會不會給我們研究物理世界的方式帶來變革？納維-斯托克斯方程和千禧年大獎引出的答案既是肯定也是否定的。經過近200年的實驗，這些方程確實有效：由納維-斯托克斯方程預測的流體流動與實驗中觀察到的流動總是相符的。如果你是一位物理學家，實驗中這樣的一致性或許已經足夠。但數學家需要的更多——他們想要確定這組方程是否具有普遍性，想要精確捕捉流體的瞬時變化（無論何種初始條件），甚至去定位湍流產生的那個起點。

Fefferman說：「流體行為的詭譎總是令人驚嘆。而那些行為理論上可以用這組基本方程來解釋。它能很好地描述流體的運動。但是從方程描述流體運動到描述任意流體的真實運動，這一過程仍然未知。」

https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/

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