概率問題解題有道之文理有別

高考數學MOOK

2017 VOL.48

李明

▼

一

概率的性質

1

高考考點

（1）互斥事件、對立事件、互斥事件的概率加法公式.

（2）概率的常見性質.

2

高考命題動向

考查互斥事件與對立事件，互斥事件的概率加法公式，與古典概型問題結合出現在解答題系列，或直接在客觀題中考查概率的基本性質.

3

題型講解

（1）互斥與對立事件

例1．某入伍新兵進行實彈練習,那麼連續射擊2次,事件「至少有1次中靶」的對立事件是( )

A.至多有1次中靶 B.2次都中靶

C.2次都不中靶 D.只有1次中靶

【解析】「至少有1次中靶」包括中1次或中2次,故選C.

【答案】C

【點評】互斥事件為在任何一次試驗中不可能同時發生的兩個基本事件，而對立事件必為互斥事件，且其並事件為必然事件，對立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是對立事件.

【變式訓練1】從裝有2個紅色琉璃球和2個白色琉璃球的箱子內任取2個琉璃球,那麼互斥而不對立的兩個事件是( )

A.至少有1個白色琉璃球,都是白色琉璃球

B.至少有1個白色琉璃球,至少有1個紅色琉璃球

C.恰有1個白色琉璃球,恰有2個白色琉璃球

D.至少有1個白色琉璃球,都是紅色琉璃球

【解析】結合互斥事件和對立事件的定義知,對於C中恰有1個白,即1白1紅,與恰有2個白色琉璃球是互斥事件,但不是對立事件,因為還有2個都是紅色琉璃球的情況.

【答案】C

（2）互斥事件的概率加法公式

二

古典概型

1

高考考點

2

高考命題動向

古典概型是高中數學概率部分的重要概率模型，也是歷年文科高考解答題的必考知識點，考查古典概型概率公式的應用，尤其是古典概型與互斥、對立事件的綜合問題更是高考的熱點．在解答題中古典概型常與統計中的頻率分布直方圖、莖葉圖等知識點相結合進行綜合考查，考查學生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主．

3

題型講解

三

幾何概型

1

高考考點

（2）幾何概型與其它知識的交匯：與定積分、立體幾何、解析幾何、函數與方程等知識聯合命題.

2

高考命題動向

縱覽近幾年的高考試題可以發現，幾何概型在高考中的考查題量一般在一道試題左右，多以選擇、填空的形式出現，分值一般在5分左右，常見題型仍然以①長度型②面積型③體積型為主，在知識的交匯點處命題逐漸成為一種命題趨勢，交匯的範圍多為定積分、立體幾何、解析幾何、不等式、線性規劃以及函數與方程等.

3

題型講解

（1）長度型

概率計算的前提是判斷類型，涉及區間長度問題為幾何概型，總的基本事件與滿足條件的基本事件構成的區域均為區間，所以概率與長度有關.

（2）面積型

二維空間的幾何概型主要涉及到面積的度量問題，一般情況下抓住題目中的關鍵信息即「任意選取的位置」為平面即可確定該種類型，準確度量出欲求事件所包含的基本事件構成區域的面積與總的基本事件構成區域的面積，然後利用幾何概型的計算公式即可.

（3）體積型

準確判斷概率模型概型後，以體積作為度量的幾何概型計算問題相對容易判斷，題目中的關鍵詞信息一般是很明顯的，主要注意體積的計算，然後代入幾何概型的概率計算公式即可.

【思路分析】因為蜜蜂在一個棱長為3的正方體內自由飛行，所以滿足等可能性與無限性的特點，該概率模型為幾何概型，滿足蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個面的距離均大於1的所有點位構成了以正方體的中心為中心，棱長為1的正方體.

（4）約會型

涉及到兩個變數問題，需要在平面直角坐標系中作出其表示的平面區域，然後利用數形結合的思想，準確計算相關的面積測度，然後利用幾何概型知識解題.

例8. 陽春3月是草長鶯飛，萬木吐綠的季節，更是踏青的好時機，小明與小董兩人約定周六在6時到7時之間在某處會面一同去踏青，並約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去．則兩人能會面的概率為（ ）

【變式訓練9】老王與老李在同一單位上班，去年雙雙退休，為了鍛煉身體，增強體質，預防疾病，老王每天早上在六點半至七點半之間離開家去公園晨練，老李每天早上六點到七點之間順路到達老王家並約老王一同前往公園，問老李能見到老王的概率是多少？

【解】設「老李能見到老王」為事件A，如圖，方形區域內任何一點的橫坐標表示老李的到達時間，縱坐標表示老王離開家的時間，由於區域內任意一點的出現是等可能的，故為幾何概型；由題意，只要點落在陰影部分內，就表示老李能見到老王，即事件A發生，

【幾何概型通解通法】

幾何概型是將古典概型的有限性推廣到無限性，而保留等可能性的一種求概率的方法.掀起幾何概型的「蓋頭」，你會發現事件的概率只與構成事件區域A的測度（長度、面積、體積等）有關，若點P落在區域A內的概率與長度（面積、體積等）有關時，一般用長度比（面積比、體積比等）進行計算.

總結

本專題在高考中出現其試題難度不大，但是同學們一定有這個感覺，理科生做古典概型的題比文科生要簡單很多，有沒有！那是因為理科多學了計數原理與排列、組合，不用羨慕啦，理科生要學的也比文科生的多很多，所以互相找一找平衡，為了高考繼續加油！

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