糟糕的數學教育模式正在妨礙學生的學習
有傳言道，中國的基礎教育是做得最好的。對此，我一直堅信不疑。
直到最近。
我妹妹高三了，數學不太好，大概只能考滿分的一半。於是，提高數學成績的任務，落到了我的頭上。
教的過程中，我一半時間哭，一半時間笑。
舉幾個例子吧。
我：(…) 取值應該是非負整數。等等，你知道什麼是非正整數嗎？
她：恩。就是負整數。
我：（驚恐）那 0 呢？
她：0 不是整數吧。
我：……
另一次。
我：你去看書上定義啊！
她：（翻書翻了半天）
我：看定義啊！
她：…什麼是定義？
我：…那你知不知道什麼叫定理，什麼叫公理？
她：……
我：……
以及。
我：你為什麼要算導數？
她：呃…
我：你是怎麼考慮的？
她：我也不知道。好像一般都要算。
我：……
作為旁觀者，我感覺非常搞笑。但很不巧，正好是我要幫她把漏洞補上，我只好拿一半的時間掩面痛哭。
在教學過程中，我越發感覺到，她不按照、或者說根本不知道怎麼按照邏輯進行推導。數學家伍鴻熙講，認為數學上最重要的事情是每一步推論的正確性，相當於說魯迅文章的好處在於每句話寫得通順一樣，是可笑的。這話很有道理，數學很多時候是需要直觀來推進的。然而，能夠在需要的時候進行邏輯嚴密的推理，是前提條件的，否則別說魯迅，離魯豫都差得遠。
推斷的嚴謹性，理應是在初中學習平面幾何的階段，得到充分訓練的。但很顯然，從我妹妹身上，可以看出，這階段的數學教育，不那麼成功。
在遇到問題的時候，她是過分依賴聯想思維了。當然，聯想思維和邏輯思維同樣很重要。但，天馬行空的聯想，若不加以邏輯嚴密的甄別或者驗證，在數學上是行不通的。
不妨再舉一例。在考察一個僅有一解的方程時，我問她能看出什麼。她說，應該滿足「判別式等於 0」。我問她，什麼是判別式。她說，b^2-4ac. 聽起來頭頭是道，問題在於，這方程根本不是什麼一元二次方程，而是一個帶指數函數的超越方程。
可以看出，不經過邏輯驗證，迷信聯想的結果，可能是非常荒謬的。
自然，我對她為什麼沒有掌握邏輯思維，感到非常好奇。
很快我發現，如果我把推導的步驟詳細地寫出來，她覺得自己能看懂。但一旦我指著某一步讓她解釋，她卻常常無法解釋這一步是為什麼。也就是說，她實際上並不懂。
這時候我會出一道新的題目，把無關的細節全部捨棄，只保留這一步最核心的問題。結果就是她無法回答。於是我又針對其中某一步再出一道更精簡的題目。反覆幾次以後，我才發現，根源不是高三的知識，而是高一的知識，甚至是初一的知識。
這就很麻煩。對「知識」按照實際掌握和自認為掌握兩個維度來分，可以分為，「知道自己知道的」、「知道自己不知道的」、「不知道自己知道的」、「不知道自己不知道的」。確實知道的知識，當然沒什麼可談的。而「知道自己不知道的」，也不可怕，抽個時間補上就行了。
問題就出在「不知道自己不知道的」。這種知識，就是那種看起來很熟悉、經常碰到，但是並沒有真正掌握。在推導過程中，如果遇到解釋不了的步驟，基本上就是這類知識造成的。你知道拼圖缺了一塊，但不清楚具體是哪一塊。更糟糕的是，如果你自己不動手，而是光看別人寫的步驟，你都不知道自己缺了拼圖，就像我妹妹一樣。
似乎很多老師對這種情況束手無策。「為什麼我教過了，你還是不會做？」很多老師喜歡這麼說。但是想一想，老師教過了，和學生掌握了，當然是兩碼事。如果老師不能填補學生的知識漏洞，怎麼能指望學生用背誦以外的方式掌握題目呢？那麼背誦的效果如何呢，問問那些很努力卻成績不佳的同學吧。
在大班的教學中，老師是無能為力的。因為這種漏洞，通常是高度個性化的。而在 1 對 1 的教學中，很多老師也沒法解決這個問題。通常的教法，是學生遇到不會做的題目，老師講一遍，如果學生覺得聽懂了，就換下一題。但令人惱火的事情發生了，同樣的知識點，換了一個外殼，學生仍然不知道如何應對。
這很正常，如果老師不去想辦法把學生的漏洞抓出來，學生自己是不知道的。應該說，能精確診斷自己問題的學生，確實不怎麼需要輔導了。
但話說回來，為什麼我妹妹有那麼多漏洞呢？
多年以前，我在 TED 上看過 Sal Khan（可汗學院的創始人）的演講，題目是「為掌握而不是考試分數而教學」(Let』s teach for mastery — not test scores)。當時看了沒什麼想法——如果你每天都吃飯，然後有個人跟你說吃飯的重要性，有什麼意義嗎？然而，當我發現原來有些人真的沒吃飯的時候，這就有意義了。
學校里的教學方式是這樣的：先制定好教學計劃，也就是確定每塊內容學習多久。到了時間以後，進行一次測試。考試成績當然有好有壞：有的人滿分，有的人九十分，有的人六十分。但不管怎麼樣，老師就繼續往下講了。
這是一件細想之下很荒誕的事情。如果你看不出這其中的荒謬之處，那麼不妨做個類比。現在要建一棟房子，計劃花兩個星期打地基。兩個星期過去了，一檢查，發現打好了 80%，好，現在再用兩個星期建第一層。又兩個星期過去，一檢查，發現第一層建了 70%，好，我們現在開始建第二層……大家可以想像一下最後會發生什麼。
正確的做法是，應該先把基礎的知識徹底掌握，然後再能夠進入下一層的學習。如果有些人考了七八十分，說明前面的內容還沒有完全掌握，那麼能指望他學明白接下來更深入的內容嗎？
對考試的理解，也是完全錯誤的。目前，考試是用來反映學生這一階段有沒有好好學，甚至是這個學生是否聰明。合適的做法，應該是用考試來暴露學生沒掌握的知識，然後彌補學生的缺漏而不是若無其事地講後面的內容。
目前的這種教學模式，導致很多學生沒有辦法掌握前後教學內容之間的邏輯關係。為了趕上教學進度，學生只好背誦結論，然而不加以分析地使用結論。久之，學生不再分析題目，而是一看到題目就搜腸刮肚，看看有什麼背過的結論能套用進去。
近幾年盛行的奧數教育，無疑只能讓事情變得更糟。奧數，部分是拔高了題目難度，部分是把後面的知識提前拿過來。不管是哪種情況，都是基礎不紮實的普通學生難以理解的，所以只好背一些解題套路。這無疑讓普通學生的知識結構更加混亂。目前更迫切需要的課外輔導，不是拔高難度，而是彌補基礎的漏洞。
很多學生對數學的態度，是畏懼的。這導致數學教學進行不順，但這也很容易理解。很多人都知道一句話，興趣是最好的老師。
但興趣不是充話費送的，也不是抽獎抽中的，而是培養出來的。如果學生不理解自己所接觸的數學，只能枯燥地背誦結論，然後只能偶爾地做出幾題，當然有挫折感，怎麼會產生興趣？
如果二十年前，還有充分的理由為這種教學模式辯護，今天看來，這種理由已經不那麼充分了。過去充分的理由是，教師沒有那麼多的精力，來為不同的學生彌補不同的漏洞。到了今天，由於 IT 的發展，完全可以藉助錄製視頻播放的方式，將教師從同質化的備課、上課中解放出來，使得教師有精力去解決個性化的需求。甚至，給不同學生採用不同的教學進度，在技術上也是可行的了。
這不是什麼魔術，也不是什麼需要憧憬的未來。可汗學院，已經跟很多中小學合作，產生了驚艷的教學效果。Facebook 為 Summit Public Schools 提供了個性化學習方案的軟體支持，把這種教學模式推廣到了全美三百多所公立學校。
文章如果太長，就沒多少人想看。這篇就先寫到這裡，如果下次有機會，我再講講我怎麼幫助我妹妹學習數學。
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