拉格朗日的世界，你未必懂

最新 02-06

前段時間，一位學生在我的公眾號里留言，詢問「拉格朗日中值定理」，作為一位高三生居然知道拉格朗日，我不得不說，孩子太優秀了，或者孩子的數學教師太吊了！

為了更好地研究「拉格朗日中值定理」，我們先來看一道試題：

這道題在當時確實堪稱經典，後來被多個省市改為模擬題來練習，並且2010年遼寧卷仍沿用了這一思路來命題，這道題確實對學生素質要求較高，首先在構造函數時不容易想到，另外在求導後又採取了基本不等式來放縮，更是不易想得出。

記得當時我講這道題時，採取的是分析法來完成，現在分享如下：

把這道題講完，總感覺不是那麼很完美，事後查閱資料，發現網路上還有另一個簡單的好方法，現分享如下：

解題根據是：對於一個連續可導函數，任意一條割線都可以找到一條與其斜率相等的切線，這就是高等數學中的拉格朗日中值定理。

什麼是「拉格朗日中值定理」？我們先來學習「拉格朗日」！

約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著名數學家、物理學家。1736年1月25日生於義大利都靈，1813年4月10日卒於巴黎。他在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學方面的成就最為突出。

拉格朗日父親是法國陸軍騎兵里的一名軍官，後由於經商破產，家道中落。據拉格朗日本人回憶，如果幼年時家境富裕，他也就不會作數學研究了，因為父親一心想把他培養成為一名律師。拉格朗日個人卻對法律毫無興趣。

拉格朗日科學研究所涉及的領域極其廣泛。他在數學上最突出的貢獻是使數學分析與幾何與力學脫離開來，使數學的獨立性更為清楚，從此數學不再僅僅是其他學科的工具。

拉格朗日總結了18世紀的數學成果，同時又為19世紀的數學研究開闢了道路，堪稱法國最傑出的數學大師。同時，他的關於月球運動（三體問題）、行星運動、軌道計算、兩個不動中心問題、流體力

學等方面的成果，在使天文學力學化、力學分析化上，也起到了歷史性的作用，促進了力學和天體力學的進一步發展，成為這些領域的開創性或奠基性研究。

在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時間花在代數方程和超越方程的解法上，作出了有價值的貢獻，推動一代數學的發展。他提交給柏林科學院兩篇著名的論文：《關於解數值方程》和《關於方程的代數解法的研究》。把前人解三、四次代數方程的各種解法，總結為一套標準方法，即把方程化為低一次的方程（稱輔助方程或預解式）以求解。

拉格朗日也是分析力學的創立者。拉格朗日在其名著《分析力學》中，在總結歷史上各種力學基本原理的基礎上，發展達朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢和等勢面的概念，進一步把數學分析應用於質點和剛體力學，提出了運用於靜力學和動力學的普遍方程，引進廣義坐標的概念，建立了拉格朗日方程，把力學體系的運動方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變為以能量為基本概念的分析力學形式，奠定了分析力學的基礎，為把力學理論推廣應用到物理學其他領域開闢了道路。

他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉對稱軸上的定點轉動（拉格朗日陀螺）的歐拉動力學方程的解，對三體問題的求解方法有重要貢獻，解決了限制性三體運動的定型問題。拉格朗日對流體運動的理論也有重要貢獻，提出了描述流體運動的拉格朗日方法。

拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學有關。他用自己在分析力學中的原理和公式，建立起各類天體的運動方程。在天體運動方程的解法中，拉格朗日發現了三體問題運動方程的五個特解，即拉格朗日平動解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動問題，提出了彗星起源假說等。

近百餘年來，數學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源於拉格朗日的工作。所以他在數學史上被認為是對分析數學的發展產生全面影響的數學家之一。

了解了拉格朗日，我們再來學習「拉格朗日中值定理」。