能讓你免受流感侵襲的，除了疫苗，還有數學啊！

假設你聽到一個猛料很足的八卦，無法控制的想要跟人「分享」這一驚世傳聞。但是你本身又有點鄙視「傳謠」這一行徑，所以你折中的決定只將這一傳聞告訴一個人，之後就徹底閉嘴。這總該沒什麼大不了吧？而且如果你告知的對象也採取同樣的策略——只告訴另一個人——那這個流言應該不會傳得非常遠。因為每天只有一個新增的人知道這則傳聞，那麼30天之後，這個八卦的波及面也只有31個人。

那如果告知的對象變成兩個，情況會怎樣呢？結果能驚掉你的下巴！如果每天每個在前一天得知傳聞的人將傳聞告知兩個新的人，那麼在30天之後，傳聞的所及人數將達到21148483647人（2^31-1），是世界總人口的1/4。這是一個怎樣的驚天大飛躍？！明明所有的變化只是將告知對象從一個變成兩個而已啊……答案在於變化率。

在第一種情況下，每一天傳言傳播到的人數與前一天的相同。並且無論是今天、明天、後天……這種情況都不會改變，這意味著每天聽到傳言的新增人數是恆定的。在這個的例子中，這個數字是1。

但是，如果每天傳播的人數變成了原來的兩倍，那麼傳播力度就會呈指數增長：第1天新增兩個知道傳言的人，第2天多四個，第3天多八個……以此類推。到了第30天，將新增2^30個人知道這一傳言。

為何這兩種情況之間的差異如此之大？一言以蔽之，就是線性函數與指數函數之間的區別！線性函數的變化率是恆定的（就像每天新增的流言知曉者為1人），它的增長是緩慢而穩定的，每次增長的都一樣。而指數函數的特徵是其變化率呈倍數增加——如1傳2、2傳4、4傳8等等等等。與線性增長不同的是，指數函數會加速增長，即增長量本身會不斷增加。

這就是為何30天後知曉並傳謠人數可以是31人，也可是20多億人的原因。其結果完全取決於每個知道傳聞的人的傳播對象數量是一個還是兩個。

該圖表顯示了每天新增的知曉流言的人數。綠色的線性增長几乎成水平狀，而藍色的指數增長則幾乎垂直的向上延伸超過20億。| 圖片來源：Quanta Magazine

這一基礎的數學模型捕捉的是一種特殊繁衍模式的本質，受這種繁衍模式影響的遠不止八卦傳播。像所有的基礎模型一樣，它忽略或簡化了許多複雜的因素，例如傳播的可能性和整體的人口規模，但這可以作為一個用來探索思想如何傳播、人口如何增長、以及疾病如何擴散的良好開端。

疾病感染的傳播方式與八卦傳聞非常相似——先有人將它們拾起（得知或得病），再將其傳給其他人。因此相同的基礎數學模型在這兩種情況下是通用的。在上文中所舉的那則有關流言的簡單例子中，我們看到了對流言的傳播力度作出的看似微小的改變，能導致知曉流言的人數產生巨大變化。傳染病的情況也是如此：傳染一個人和傳染兩個人所導致的差別，可能正是導致個案病例還是流行病的關鍵。

每種傳染性感染都以特有的傳染率在某片區域內傳播，這一速率受當地生物、環境、和社會因素影響。流行病學家試圖將所有這些因素對感染者的影響概述為「基本傳染數」。這是對每個感染者能產生新的感染數的平均預期，我們用R?來表示。在上面所舉的傳聞示例中，兩種情況的基本傳染數分別是R?= 1（一傳一）和R?= 2（一傳而），而「傳染期」是1天。

以下列舉的是一些知名疾病的基本傳染數。

圖表來源：CDC & NIH

請注意，這些疾病的基本傳染數都大於1。這也是這些疾病被認為十分危險的部分原因：因為每個感染者平均會感染一個以上的人，從而導致感染這種疾病的人數呈指數級增長。這對人群能造成毀滅性的影響。但我們能否將指數增長變為線性增長呢？我們可以將某個疾病的R?降至為1嗎？

這就需要疫苗的登場了。一旦接種疫苗，個體對疾病就會產生抵抗力，雖然成功率會有所不同，但在這裡為了簡單起見，我們假定疫苗的接種能對疾病提供完全免疫力。疫苗接種對於接種疫苗的個體能發揮直接的有益效應，但同時也能間接助益更廣泛的人群。如果一個社區有許多人都接種了疫苗，那麼這種疾病就無法迅速蔓延。

實際上，廣泛接種疫苗可以幫助減少疾病的有效傳染數。如果有足夠多的個人接種了疫苗，那麼傳染數是可以減少到1的，從而確保了疾病只會以線性速度擴散。那麼需要多少人去完成疫苗的接種才能將疾病的有效傳染數降為1呢？

我們來思考一下基本傳染數究竟告訴了我們什麼，我們以R?= 2的流感疫情情況為例。這意味著每個感染者平均會感染兩個新人。這一簡單的數字R?= 2，為我們提供了很多信息，其中包括：傳染病的傳播方式的難易程度、傳染期的長短、以及感染者在一段時間內會與多少人互動。通過分析這個數字，我們可以輕易得出該如何用疫苗接種來減小它。

假設某人感染了R?= 2的流感病毒，並且會在感染與另外10人接觸。用下圖所示的圖畫表示，綠色顯示的是感染者，箭頭指向的是遇到10人。

感染者（綠）在傳染期內接觸10人。| 圖片來源：Quanta Magazine

每個與其接觸的人都有感染流感的幾率，但是R?= 2意味著這10人中只有2人會被真正的感染。

20%的人被傳染。| 圖片來源：Quanta Magazine

我們可以說每個人都有2/10或20％的感染幾率。

但假設這10人中有兩人已經接種了流感疫苗（假設接種疫苗的人具有完全免疫力，感染者無法將疾病傳給他們），但其餘8人每人仍有20%的被感染幾率。這意味著，平均來說，10人中的0.2×8人——即1.6人——將被感染。

因此如果每10人中就有兩人接種了疫苗，那麼一個感染者平均會感染的人數就從2人變成了1.6人。疫苗的接種已經有效地將該病的基本傳染數從R?= 2降低到R?= 1.6。那麼如何才能將基本傳染數降到1，從而完全避免指數增長呢？

我們再次假設最初的感染者在傳染期內接觸了10人，每個未接種疫苗的人有20％的感染幾率。現在，假設這10人中有V人接種了疫苗。因此我們可以預計，未接種疫苗的個體中有20％會被感染，即0.2×(10-V）人會被感染。若要增長呈線性而非指數級的話，我們需要新的平均感染數等於1。因此，我們只需求解方程：0.2×(10-V)= 1。

求解這一最簡單的方程我們可以得知 V = 5。接下來讓我們來看看若接觸的10人中有5人接種了疫苗後會發生什麼情況。

在10個接觸人群中有5人接種了疫苗（藍）。| 圖片來源：Quanta Magazine

疫苗的接種基本上將接種過的5人從圖中移除，因為他們不會感染這種疾病。剩下的5人中每一個人都有20％的感染幾率，所以平均來說這5人中有1人會感染這種疾病。這意味著最初接觸的10人中，只有1個被感染：因此，通過給每10人中的5人接種疫苗，就能有效地將這種疾病的R?降至為1。

5人中的20%被傳染（綠）。| 圖片來源：Quanta Magazine

這個過程可被推廣運用於控制任何基本傳染數R?。如果我們假設每個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，那麼平均來說我們可以預計這些人中的 R?/N 會被感染。但是，假如在這N人中有V個人接種過疫苗，那麼

就代表著新感染的數。我們想要這個數字是1，就可以建立等式：

求解代表接種人群總比例的V /N，即每N個人中有V個人接種疫苗。從而我們可以得出

也就是說，如果接種疫苗人數在人群中的比例是1-1/R?的話，那麼平均每個感染者只會感染一個新人。因此，1-1/R?就是導致疾病傳染趨勢呈線性而非指數增長的魔法百分比。

當全體人口的接種水平達到 1-1/R?時，群體就實現了對這一疾病的集體免疫。這指的不是個人得到的免疫力，而是控制了即便在人口中以指數級擴散。這種特性被稱為「群體免疫力」。而實現群體免疫所需的疫苗接種率被稱為「群體免疫力閾值」（HIT）。以下是部分疾病的群體免疫力閾值的例子。

圖表來來源：Quanta Magazine

顯然，針對某種疾病的疫苗接種不僅為個體提供了潛在益處，而且對整個社區也是有益的。當達到群體免疫的閾值時，疾病在人群中傳播的速率會保持在一個足夠低的水平，從而避免了災難性的疫情發生。廣泛的疫苗接種會將疫情圖變成如下圖左邊所示的樣子；而如右圖所示的有著許多潛在傳播途徑的疾病會在整體人群中擴散，這種情況下只有少數路徑能減緩疫情的增長，從而無法減少疫情爆發的幾率。

圖片來源：Quanta Magazine

群體免疫的另一重要特徵是，即使未接種疫苗的人群也能因此受益。由於這種情況下疾病不太可能廣泛傳播，因此每個人的感染風險都比較低，其中就包括未接種疫苗的人。這一點對於那些在醫學上不建議接種疫苗的人（如嬰幼兒、老年人和體弱者）來說尤其重要。儘管在這裡我們假設了接種疫苗的效用是100％，但即使不是100％有效，群體免疫的功效也是可以達到的：因為即便小於100%，廣泛的疫苗接種仍能有效減少每個感染者的平均傳染數，從而降低疾病的有效感染數。

我們已經從數學上見識了線性增長和指數增長所能導致的巨大差異。而就疾病傳播來說，這實際上是一個生死攸關的問題。疫苗的接種和群體免疫力背後的根本數學是非常重要的，所以把這個故事分享給你的一個朋友……或者想要更好的話，就分享給兩個吧！

撰文：Patrick Honner

編譯：萌大統領

參考鏈接：

https://www.quantamagazine.org/flu-vaccines-and-the-math-of-herd-immunity-20180205/

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