虛數到底有什麼意義？從 i 說起

用自己的語言

講述我所理解的虛數

有人在Stack Exchange問了一個問題：

"我一直覺得虛數（imaginary number）很難懂。中學老師說，虛數就是-1的平方根。

可是，什麼數的平方等於-1呢？計算器直接顯示出錯！

直到今天，我也沒有搞懂。誰能解釋，虛數到底是什麼？它有什麼用？"

帖子的下面，很多人給出了自己的解釋，還推薦了一篇非常棒的文章《虛數的圖解》。我讀後恍然大悟，醍醐灌頂，原來虛數這麼簡單，一點也不奇怪和難懂！

下面，我就用自己的語言，講述我所理解的虛數。

什麼是虛數

首先，假設有一根數軸，上面有兩個反向的點：+1和-1。

這根數軸的正向部分，可以繞原點旋轉。顯然，逆時針旋轉180度，+1就會變成-1。

這相當於兩次逆時針旋轉90度。

因此，我們可以得到下面的關係式：

(+1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)

如果把+1消去，這個式子就變為：

(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)

將"逆時針旋轉90度"記為 i ：

i^2 = (-1)

這個式子很眼熟，它就是虛數的定義公式。

所以，我們可以知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。

複數的定義

既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀態。

將實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數，必然唯一對應這個平面中的某個點。

只要確定橫坐標和縱坐標，比如( 1 , i )，就可以確定某個實數的旋轉量（45度）。

數學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維坐標：用 + 號把橫坐標和縱坐標連接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做複數（complex number），其中 1 稱為實數部，i 稱為虛數部。

為什麼要把二維坐標表示成這樣呢，下一節告訴你原因。

虛數的作用：加法

虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。

比如，物理學需要計算"力的合成"。假定一個力是 3 + i ，另一個力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？

根據"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

這就是虛數加法的物理意義。

虛數的作用：乘法

如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。

比如，一條船的航向是 3 + 4i 。

如果該船的航向，逆時針增加45度，請問新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節解釋）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因為90度的航向就是 i ，所以新航向等於：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

這就是虛數乘法的物理意義：改變旋轉角度。

虛數乘法的數學證明

為什麼一個複數改變旋轉角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的數學證明，實際上很簡單。

任何複數 a + bi，都可以改寫成旋轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。

假定現有兩個複數 a + bi 和 c + di，可以將它們改寫如下：

a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

這兩個複數相乘，( a + bi )( c + di ) 就相當於

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展開後面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根據三角函數公式，上面的式子就等於

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

這就證明了，兩個複數相乘，就等於旋轉半徑相乘、旋轉角度相加。

—end—

本文由超級數學建模編輯整理

本文來源於阮一峰的網路日誌

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