中華文化筆記5，中國數學小史
《周髀算經》中關於勾股定理的記載
戰國時期經過兩千年的實踐，在對天文的觀察以及對土地的測量方面積累了大量的數學經驗。公元前5000年左右的中國半坡村陶器上的小孔數目已經按自然數順序排列形成了等差數列，在殷墟甲骨文中已有十進位記數法，中國西周的「六藝」中的「數」就包含數學天文歷算等知識。到了戰國時期，中國數學的代表作之一《周髀算經》大致成型了。
《周髀算經》主要用於闡明當時的蓋天說和四分曆法，而其在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用以及怎樣引用到天文計算。早在周公、商高時代已知勾股定理的特例：勾三股四弦五。作為勾股定理的發現者，《周髀算經》中明確記載了周公後人陳子敘述的勾股定理公式：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日」。從西周時代我國就開始使用一種最簡單的觀測工具——周髀。周髀即圭表，由直立於平地上的標竿（或石柱）為股，和正南北方向平放於地上的尺為勾組成。從《考工記》可知，戰國以前人們已知道使用鉛垂線來校正表的垂直，用水平面來校正圭的水平。每天正午時刻日影恰在正北的方向，且每天正午時刻日影的長度並不一樣。夏至午時的日影最短，冬至時午時的日影最長。根據正午時表影的長度，就可以推定節氣，從正午時表影長度的周期性變化，就可以確定出一個回歸年的日數。此為「立竿見影」之法。所以，我國在西周初期，已知道了回歸年的長度。周髀的發明，雖然十分簡單，而在中國古代天文學的發展上，其作用和意義決不在後來的天文望遠鏡和射電望遠鏡之下。
戰國時在數學上另一個奇葩便是無所不在的墨家理論。莊子曾經提出一個分割木捶問題：「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」希臘人芝諾也提出過一個類似的著名悖論：阿基里斯追不上烏龜。因為他必須首先到達烏龜的出發點，而當他到達那一點時，烏龜又向前爬了一段。墨子化解了這一千古疑難。他設想有一條線ab，從a端向b端前進，進到全長一半c，則斫去，剩餘cb是全長的一半。再如前法取cb一半，剩為全長四分之一。如此取至無窮多次，最後必將到達線的最前端b。這正是數學上的極限逼近原理。直到1655年英國的瓦里斯出版《無窮算術》，才有「極限」概念的正確解釋。另外墨子還給出了一系列具有高度的抽象性和嚴密性的數學概念的定義，例如關於「倍」的定義（倍，為二也）；關於「平」的定義（平，同高也）；關於「同長」的定義（同長，以正相盡也）；關於「中」的定義（中，同長也）；關於「圓」的定義（圓，一中同長也）；關於長方形的定義（四個角都為直角，用「矩」來畫圖）；關於直線的定義（三點共線即為直線。三點共線為直線的定義，在後世測量物體的高度和距離方面得到廣泛的應用。晉代數學家劉徽在測量學專著《海島算經》中，就是應用三點共線來測高和測遠的。漢以後弩機上的瞄準器「望山」也是據此發明的）等。
此外，在清華大學收藏的楚簡中發現了《算表》。《算表》撰成於戰國中期偏晚時，是目前所見到的我國最早的數學文獻實物，同時也是目前國內發現最早的實用算具。該《算表》不僅可以將複雜的乘法轉變為簡單的加法，還可用於除法運算和開方運算。利用這套《算表》不僅能夠快速計算100以內的兩個任意整數的乘積，還能計算包含分數「半」的兩位數乘法。其計算功能超過了以往發現的《里耶秦簡九九表》和《張家界漢簡九九表》等古代乘法表。它比目前能夠見到的古代十進位乘法表年代都早，在當時世界範圍內也是相當先進的，是中國數學史乃至世界數學史上的一項重大發現。
清華大學竹簡《算表》
戰國之後，秦始皇焚了百家之書，數學因為屬於方術、卜筮之書並不被禁止。上文提到了在里耶出土的秦簡中發現了我國最早、最完整的乘法口訣表。該表與現今生活中使用的乘法口訣表有著驚人的一致，而且其中還涵蓋了二半而一這樣的分數運算。西方最早的乘法口訣表是在1600年前發現的，該乘法口訣表比西方早了600多年【1】。
到了漢朝數學發展勢頭更猛，在張家山漢墓出土了《算數書》，是目前已知最早的中國數學著作。其內容豐富，和《九章算術》有許多相同之處，體例也是「問題集」形式，大多數題都由問、答、術三部分組成，而且有些概念、術語也與《九章算術》的一樣。它比《九章算術》要早一個半世紀以上，書中有些內容和《九章算術》非常相似，一些內容的文句也基本相同。有人推測兩書具有某些繼承關係。其他漢朝數學作品還有阜陽雙古堆漢簡《算術》，居延漢簡《算術書》《九九術》等。東漢時的徐岳撰有《數術記遺》，記載了14種演算法，「珠算」之名首見於此。這14種中除「計數」為心算無須算具外，其餘13種均有計算工具，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算和珠算，除了珠算都已經失傳。另外中國古代最重要的數學著作《九章算術》在漢代基本定形，其中比例計算、線性插值法、盈不足術、線性方程組解法、正負數運演算法則以及正負數運算等都是世界數學史上的重要貢獻。
《九章算術》
後世數學在《九章算術》的基礎上繼續發展，魏晉時劉徽著《海島算經》，注釋《九章算術》。值得一提的是劉徽的《九章算術注》，其對一些重要的數學概念給出了嚴格的定義，並由對《九章算術》中的公式和命題作了合乎形式邏輯的證明，從而構成了具有邏輯證明，推理結構的數學理論。這是對《九章算術》以數值計算為中心的，非邏輯結構的數學體系的重大突破。
南北朝時期祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，並以227為約率，355113為密率（現稱祖率）。其所著《綴術》為唐朝國子監教材《算經十書》中最難的一門，要四年才可學成，後因其難而不傳。隋朝開始設立「算學」，是世界上最早的數學專科教育機構。唐朝科舉制度中設「明算科」舉人。唐朝李淳風等注釋十部算經，後通稱《算經十書》，除不傳的《綴術》外，其餘九書為《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、南北朝《孫子算經》《五曹算經》《五經算術》《張邱建算經》，唐朝《緝古算經》、《夏侯陽算經》。
另外其中《孫子算經》並非孫武所著，而今天所見到的《孫子算經》可能經過後人篡改，和《隋書?律曆志》引用的《孫子算經》的有關記載有相互矛盾的地方。但近年敦煌發現的《算經》其主要內容就是《孫子算經》，其發現則使這類問題迎刃而解。其中記載了億以上的計算單位，如兆、京、該、梓、讓、溝、間、政、載、極等。
敦煌古書中最重要的數學文獻是前人從未見過的實用性數學著作《立成算經》，這件《立成算經》抄本最引人注目的地方，是出現了唐人手寫的數碼字。這些數碼字沒有表示空位的零號，是按算籌記數的縱橫相間規則，記下了一系列數碼，除個位數之外，還有兩位數和三位數碼。雖然還不能說這些數碼在唐朝就用來作運算了，但卻是宋代以後開始普遍運用數碼的淵源，同時也有助於了解古代的籌算制度。《立成算經》中首次出現算籌記數圖示，驗證了古算書的記載。另外敦煌還有《九九乘法歌》等數學文獻發現。，這些都是中國現存算術中最早的寫本，是研究中國數學史的重要史料。
《數書九章》的測高法
中國數學史上另一部極其重要的著作是宋代秦九韶著的《數書九章》，它創立解一次同餘式組的大衍求一術和求高次方程數值解的正負開方術，後者相當於西方的霍納法（1819）。其他重要的數學作品有金朝李冶著《測圓海鏡》，元朝朱世傑著《算學啟蒙》、《四元玉鑒》，元代丁巨撰《丁巨演算法》，明朝《魁本對相四言雜字》、程大位著《演算法統宗》等。
籌算
後明代利瑪竇東來中國後，又將西方數學帶入中國，在此基礎上又有徐光啟和利瑪竇合作翻譯的《幾何原本》，李之藻與利瑪竇編譯的《同文算指》，清代明安圖《割圓密率捷法》，汪萊寫成《衡齋算學》，焦循撰《加減乘除釋》等。遭此衝擊，中國傳統數學全面敗退，近代以後中國以算學為基礎的傳統數學再無建樹。
中國傳統數學更多的是以算學為主，在古代只是和算命一樣作為一門技藝，而非一門科學。它能流傳更多是因為它是儒家政治所重視的曆法、天文、農業的基礎，否則必定歸到奇技淫巧之中。表面上它是為農業、曆法、建築等服務，但本質上還是封建政治的僕人。這就決定了古代數學講究實用而不講究「無用」的理論研究，加上傳統習慣又不注重邏輯，古代數學即便再早熟，也最終是要流產的。
參考文獻
1 王煥林《里耶秦簡九九表初探》-《吉首大學學報：社會科學版》，2006年1月
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