極限思想概念的發展

極限理論是微積分學的基礎，但很早以前極限思想就已出現，經過幾千年的發展,演變成為近代嚴格的極限理論。

早在公元前，極限思想在《莊子·天下篇》中就有記載:「一尺之棰,日取其半,萬世不竭。」意思是一尺的棍子，每天取它的一半，永遠都取不盡。劉徽在計算圓的面積時建立的「割圓術」，本質上是極限思想的體現。他採用的具體做法是:在半徑為一尺的圓內,作圓的內接正六邊形然後逐漸倍增邊數,依次算出內接正6邊形、正12邊形、…、直至6×25(192)邊形的面積。劉徽認為「割之彌細.所失彌少。割之又割,以至於不可割,則與圓和體,而無所失矣」。與此同時，國外也出現了極限思想的萌芽，如利用「窮竭法」計算幾何體的面積。

17世紀下半葉,牛頓在研究物體的運動時創立了微積分，萊布尼茲在研究幾何問題時創立了微積分。極限是微積分的基礎，但是他們在建立微積分時的極限概念卻十分含糊不清，常常不能自圓其說。其中最明顯的缺陷就是無窮小增量是不是零?牛頓認為不是零,但是在運算的過珵中卻常常忽略了含有無窮小增量的項。萊布尼茲和牛頓一樣,常常採用略去無窮小的方法。人們開始質問無窮小和零到底有什麼區別,還質問在推理的過程中為何捨棄無窮小。既然無窮小不是零，為什麼在計算過程中省去往往不影響結果。他們那時未能給出嚴格的解釋，卻極大地推動了極限的發展。

嚴格的極限理論是由法國數學家柯西初建,由德國數學家外爾斯特拉斯完成的。1821年,柯西在《教程》寫道「當一個變數逐次所取的值無限趨於一個定值最終使變數的值和該定值之差要多小有多小,這個定值叫做所有其它值的極限。"柯西使極限念眀確的成為算術的,而擺脫了長期以來的幾何說明。柯西給出了無窮小,無窮大的定義:「當一個變數的數值這樣地無限減小,使之收斂到極限零,那麼這個變星就叫做無窮小，當變數的數值這樣地無限的增大,使該變數收斂到極限∞,那麼該變數就成為無窮大。」為了排除極限概念中的直觀痕迹,魏爾斯特拉斯提出了極限的靜態的定義,給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂an=A,就是指:「如果對任何ε>0,總存在自然數N,使得當n>N時,不等式|an-A|

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