蓮蓬中的數學

「數學史」上的今天

1799年2月5日，英國植物學家林德利出生。

數學無處不在。說到植物中的數學，我們曾講過斐波那契數列，講過螺線，本文講一講荷花的果實——蓮蓬中的數學。

先看一個被稱為「大圓套小圓」的數學問題：平面上有互不重疊的n個單位圓（n>1），應該如何擺放它們的位置，使得如果用一個最小的大圓包含它們，該大圓的面積最小？換句話說，在桌面上，應該如何擺放硬幣，使得它們最密集？

如果n趨近於無窮，即為二維的最密堆積問題。已經證明其最密的情形如下圖所示（這很符合直覺），密度不難計算，為

而三維情況即開普勒猜想：三維球堆的最大密度為。

其提出400年來，直到去年才由匹茲堡大學的數學教授托馬斯·黑爾斯徹底證明。

回到我們最初的問題。容易理解，當n=2時，兩個硬幣應該相切；當n=3時，三個硬幣應該兩兩相切……下圖列出了n=2到9時的擺放方式：

其中n=6時，也可以將一個圓放到中間去；n=8和9時，中間的圓可以移動。而當n=13時，其擺放方式是外面9個圓，裡面4個圓，如左下圖：

而這與13顆蓮子的生長方式非常相似（如右上圖）。數學家們還發現，不止13顆，其他顆數的蓮子的生長方式基本也和數學上的解相對應。為什麼蓮蓬會這樣生長呢？仔細一想不難明白，這樣是最能節省原材料和空間的生長方式。真是妙哉！

然而，至今數學家們只解決了數十個n的情況，並且這個問題進展緩慢，基本上是平均2-3年解決一個n的值。

與此相關的另一個問題是，在某一足夠大的給定區域（比如長方形）內，最多能放多少個單位圓？拓展到三維情況呢？問題就可能變得非常複雜，因為這時的排列方式未必是規律的，而可能是雜亂無章的。

參考文獻：

1. 花葉序背後的數學與物理.曹則賢.上海科普大講壇第88講

2. 開普勒猜想.知乎網

3. 百度百科

4. 歷史上的今天

變形24點

本期題目：

用加、減、乘、除和括弧，將「1799年2月5日」中的4個數：2，5，17，99進行計算，得到24。

上期答案：70÷2+2-19=18

【「數學史」上的今天】欄目簡介

本欄目以重大歷史事件為線索，介紹數學和數學家的故事，數學與各種文化的關係等。讓學生了解數學發展的脈絡，認識到數學並不是孤立的學科，而是聯繫生活的方方面面的。另外，以歷史事件發生的日期，算變形24點，提高學生的心算能力。

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